Особенности понимания детьми 6-7 лет отношений между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения

<...> Между измеряемой величиной, меркой, с помощью которой производится измерение, и числовым значением величины (числом мер) существует определенная зависимость. При измерении одного и того же объекта разными по величине мерками его количественная характеристика будет различной. В этом случае отношение между размером мерки и результатом измерении, т.е. числом таких мерок, будет обратным; чем больше сама мерка, тем меньше раз она уложится в объекте (и наоборот). При измерении двух объектов одинаковыми мерками зависимость будет прямая: число мерок будет больше в том случае, если больше по величине измеряемый объект (и наоборот). Зависимость между измеряемой величиной, меркой и результатом измерения является одним из простейших видов функциональной математической зависимости. Задача нашего исследования заключалась в выяснении, могут ли дети 6—7 лет усвоить эти отношения и какие необходимо создать условия, чтобы обеспечить понимание как прямых, так и обратных отношений между измеряемой величиной, меркой и результатом измерения. <...>

В ходе эксперимента детям необходимо было решить 4 серии задач. В первой серии предлагались устные задачи, в которых связи между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения (числом мер) были прямыми.

«Коля и Саша взяли одинаковые (метровые) палочки и решили измерить дорожки в саду. У Коли палочка уложилась 10 раз по длине дорожки, а у Саши - 11. Чья дорожка была длиннее: у Саши или у Коли?». В данной задаче имели место две ситуации и два ряда величин: первый ряд величин был связан с измерением первого отрезка, второй — с измерением второго отрезка. Для тоги чтобы осмыслить даннуюзависимость, детям необходимо было установить, что два отрезка измерялись одинаковыми мерками, запомнить результаты измерения (число мер) в первом и втором случае и на основе этого определить соотношение между измеряемыми величинами (между измеряемыми отрезками), т. е. объяснить, какая из дорожек длиннее и почему. <...>

Анализ ответов показывает, что при устном решении задачи большинство детей исходило лишь из отчетливого знания отношений между смежными числами (10<11, a 11 > 10), а это значит, что основой ответа служило не столько понимание самой зависимости между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения, сколько знание количественных отношений между смежными числами.

Задачи, предлагаемые во второй серии, были иными.

«Ученики на уроке измеряли длину класса шагами. Когда измеряла Зина, у нее получилось 15 шагов, когда измерял Вова, у него получилось 13 шагов. Объясни, как это получилось: дети измеряли одну и ту же длину класса, а количество шагов получилось разное?» В данном случае «зависимость между числом мерок и их размером была обратной: измерялся один и тот же объект (длинакласса), но разными по величине мерками (шагами), поэтому и результат измерения получится разный.

Приведем ответы детей.

Яна П.: «Потому что от дивана до окна больше, а от дивана до двери меньше (смотрит на длину и ширину комнаты)».

Леня Л.: «Вова прошел меньше метров, а Зина больше, у Зины получилось пятнадцать, а у Вовы — тринадцать». <...>

Как видим, при устном решении данной задачи (вторая серия) дети исходили лишь из разного количества мерок (результатов измерения) и не учитывали величины самих мерок при первом и втором измерении, Дети игнорировали указание в условии задачи, что измерялась одна и та же величина, но разными мерками. Отсюда их поиски пошли в ином направлении. Хорошо зная отношения между числами (15 больше 13, а 13 меньше 15), дети объясняли, что измерялись длина и ширина класса, т. е. разные величины. Подобные ответы дали 90% детей. Особый интерес представляет ответ Рады Д., которая отчетливо понимала, что прямая линия всегда бывает меньше кривой или ломаной линии.

Трудность решения задач второй серии по сравнению с задачами первой серии заключалась не только в том, что необходимо было осмыслить обратный характер зависимости между размером мерки и результатом измерения, но и в том, что детям следовало определить наличие именно этой зависимости, а не какой-либо другой. Поэтому мы считали необходимым особо подчеркнуть, что измерялся один и тот же объект (длина класса), но разными мерками (шагами). Такое уточнение перестроило ответы ряда детей. <...>

Таким образом, в тех случаях, когда дети уясняли, что измерялась длина одного и того же класса, они начинали переосмысливать свои ответы: «дети разными шагами шли» (Лена А.); «один делал шаг шире, а другой — не так широко» (Таня К.).

Однако, устанавливая отношения между размерами мерок («Кто шел большими шагами, кто маленькими?»), дети в большинстве случаев продолжали опираться на сравнение лишь количественных результатов измерения (15 больше 13, а 13 меньше 15) и на основе этого делали ошибочный вывод об отношениях между результатами измерения и мерками: «У девочки пятнадцать (шагов) получилось, значит она большими шагами шла, а мальчик маленькими, у него только тринадцать (шагов)» (Оля Р.). «У кого больше шагов, тот и большим шагом идет. Зина большими шагами шла. У нее пятнадцать, а Вова маленькими шел, у него тринадцать» (Миша Р). Такие ответы дали 95% детей.

Как видно из ответов, дети опирались на связь: чем больше шаг, тем больше их должно быть. Одностороннее осмысление количественных характеристик отдельных компонентов измерения свидетельствовало о непонимании этими детьми данной зависимости. Только 5% детей при устном решении задач второй серии могли осмыслить обратные отношения между размером мерки и результатом измерения,

При устном решении задач, содержащих как прямые, так и обратные связи между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения, дети часто использовали знание лишь количественных отношений между числами. Установление количественных отношений между числами при попытках осмыслить функциональные зависимости в некоторых случаях (первая серия) способствовало правильному решению задач, в других (вторая серия) — вело к механическому переносу одного вида зависимости в условия другой, новой зависимости или к ошибочным суждениям

о характере отношении между размером мерки и результатом измерения (при одностороннем осмыслении количественных характеристик отдельных компонентов.).

Перед нами встала задача выяснить, могут ли дети 6—7 лет осознать отношения между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения непосредственно в процессе практической деятельности измерения. С этой целью мы провели третью и четвертую серии.

В третьей серии детям предлагались задачи, содержащие те же зависимости, что были в первой серии, но характер отношений ребенок определял лишь на основе практически выполненного им измерения. Например, детям давалось задание с помощью одинаковых условных мерок в виде палочек воспроизвести длину ленты в 5 мерок и 7 мерок. Некоторым детям пришлось напомнить приемы измерения: последующая мерка должна точно совпадать с концом предыдущей, мерку накладывать следует аккуратно и т. д. Были и такие случаи, когда некоторые дети настолько увлекались самим процессом измерения, что забывали, сколько раз необходимо уложить мерку по длине ленты. <…>

Дети недостаточно точно употребляли слова «больше» и «длиннее»: для характеристики протяженности правомерно использовать термин «длиннее», который нередко заменялся детьми словом «больше». Однако основное заключалось в том, что числа «7» и «5» теперь сравнивались не как отвлеченные числа, а каждое из них связывалось с представлением о величине, т.е. сравнивались протяженности, выраженные числом мерок, а не сами числа между собой.

В четвертой серии детям предлагалось измерить длину групповой комнаты первоначально большими шагами, считая при этом количество шагов (число мер). Особенно подчеркивалась необходимость запомнить количество шагов при измерении. Затем дети измеряли эту же длину, но уже маленькими шагами и тоже запомнили результат. Полученные результаты измерения дети мысленно сопоставляли между собой и с соответствующей меркой и приходили к следующим выводам.

Миша Р.: «Когда идешь маленькими шагами, получается больше шагов — двадцать, а большими шагами (пауза) мало получается — только десять».

Практическое измерение способствовало тому, что большинство детей правильно устанавливали характер отношений между размером мерки и результатом измерения одной и той же величины.

Понимание функциональной зависимости складывается обычно из двух взаимосвязанных сторон: осознания самого характера изменения и его количественного выражения. В практически производимом ребенком процессе измерения наглядно устанавливалось соотношение между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения. Это способствовало тому, что дети вычленяли все компоненты измерения: они видели измеряемую величину, размер мерки и запоминали количественную характеристику каждой из величин. Они соотносили результаты измерения между собой и с соответствующей меркой и на основе этого приходили к правильному выводу о характере зависимости.

На основе практически выполненного измерения 45% детей осмыслили обратный характер отношений между размером мерки и результатом измерения.

Сравнение данных первой и второй серий с результатами третьей и четвертой

серий свидетельствовало об изменении некоторых, количественных показателей (увеличение количества правильных ответов при решении задач третьей и четвертой серии). <...> Наряду с этим следует отметить наличие качественных различий, которые выражались в более точных, обобщенных суждениях детей о характере той или иной зависимости. <...>

Несмотря на то, что почти все дети в третьей и четвертой сериях на основе практически выполненного измерения могли установить соотношения между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения, уровни понимания ими самой зависимости были различные.

К первому уровню мы отнесли тех детей (10%), которые не только в обобщенном виде формулировали свое понимание зависимости, но и отчетливо сознавали, при каких условиях возможно то или иное соотношение между измеряемой величиной, меркой и результатом измерения. <...>

Данный уровень понимания достигался детьми только при помощи взрослого. Экспериментатор специально обращал внимание детей на то, в каких случаях возможно то или иное отношение между измеряемой величиной, меркой и результатом измерения. Дети сравнивали различные виды отношений и только на основе этого приходили к соответствующим выводам.

Второй уровень характеризовался определенной степенью обобщенности в понимании зависимости между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения (25%), хотя дети не отмечали условие, при котором возможно то или иное соотношение. <...>

В данном случае дети формулировали свое понимание зависимости не конкретно к данному случаю, а в более обобщенной форме. Следует отметить, что не все дети, отнесенные нами ко второму уровню, самостоятельно приходили к обобщенному пониманию характера зависимости, многие — с помощью экспериментатора. Взрослый своими вопросами («Что можно сказать о величине шага и о количестве шагов?», «Если измерять две ленты одинаковыми мерками, то в каком случае одна из них будет длиннее другой?» и т. д.) подводил детей к обобщенному пониманию данной зависимости. Кроме того, дети имели возможность устанавливать разные виды зависимости между измеряемой величиной, меркой и результатом измерения на разнообразном материале, что, в свою очередь, создавало возможность для соответствующего обобщения.

На третьем уровне дети анализировали свойства зависимости, выраженные непосредственно в предметной ситуации, и числовые характеристики компонентов измерения и только на основе этого делали вывод о характере зависимости (35% детей). <...>

Анализ числовых характеристик компонентов наряду с осознанием самой ситуации, возникающей при измерении некоторых величин условными мерками, способствовал более глубокому осознанию зависимости. Однако <...> осознание зависимости тесно связано с данной конкретной ситуацией.

К четвертому уровню мы отнесли тех детей (30%), которые характер зависимости осознавали на основе наглядного признака, непосредственно представленного в самой предметной ситуации. <...>

Дети к осознанию зависимости приходили на основе выделения и сравнения признаков, которые непосредственно были представлены в предметной форме, в собственной деятельности. Ответы детей характеризовались конкретностью понимания этих зависимостей.

Опыт нашей работы показывает, что детям 6-7 лет доступно осознание кик прямых, так и обратных связей между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения, если обеспечивается правильное руководство в обучении детей деятельности измерения. <...>

Дошкольная педагогика. Ученые записки ЛГПИ им. А.И. Герцена. Л., 1972. Т. 448, с 71-79.