Неадекватная символизация Адекватная символизация 8 страница

Новый импульс распространению математической логики придал переезд Лукасевича в Варшаву, где он занял кафедру на естественно-математическом отделении университета; позже к нему присоединился Лесьневский, возглавивший кафедру философии математики.^[181] Появление обоих логиков с философской родословной в среде математиков оказало на последних заметное влияние и было воспринято доброжелательно. Пути же самих логиков заметно отличались: если Лукасевич пришел к математической логике в контексте успеха своих лекций среди математиков, то обращение Лесьневского произошло в одиночестве, путем индивидуальных размышлений; если Лукасевич в своей работе не выходил за пределы признанной в то время парадигмы логики, то Лесьневский стремился создать собственную парадигму. Небезынтересно следующее сравнение обоих логиков, данное их учеником и сотрудником Собоцинским ([1957], S.42/43): "Между Лукасевичем и Лесьневским, двумя великими фигурами варшавской логической школы [...] имеется существенная разница. Лесьневский был также философом по образованию, и также отстранился от философии [...]. Однако в противовес Лукасевичу он считал, что можно найти "настоящую" систему логики и математики. Его систематизация основ математики не была исключительно постулативной; он стремился дать в дедуктивной форме наиболее общие законы построения действительности. По этой причине он мало использовал математические и логические теории, которые - даже тогда, когда они были непротиворечивы - он не считал подходящими для фундаментальных, структурных законов действительности. По этой же причине он концентрировал свои исследования на определенной системе, которую сам и построил, и на ее внутренних проблемах, ибо был уверен, что эта система единственная и настоящая. Таким образом, хотя в определенном смысле Лесьневский никогда не обращался к философии, он может быть признан философом логики, одним из величайших в этой малой группе [...]. У Лукасевича таких забот не было. Он не пробовал строить окончательную систему оснований дедуктивных наук. Его целью было [...] предоставление многим областям нашего мышления точных и элегантных структур [...]. Он интересовался прежде всего проблемами дедукции, ее совершенства и аксиоматизации [...], считая, что стоит исследовать каждую область, в которой может быть использована (значимо, или нет) дедукция".^[182]

Первое изложение исчисления предложений в Польше также принадлежит Лукасевичу. В работе "Двузначная логика" [1920b] излагаемое исчисление представлено как нечто отличное от алгебры логики и совершенно отчетливо связано с уже устоявшейся парадигмой математической логики. Рассматриваемая Лукасевичем система сформулирована в языке, содержащем пропозициональные переменные (p,q,r,...), константы 0 (ложь) и 1 (истина), логические связки: ® (импликация), ù (отрицание), а также знаки: П (универсальный квантор), U (утверждение) и N (отбрасывание). Аксиомы имеют следующий вид:

U: Пp(0 ® p);

U: Пp(p ® 1);

N: 1 ® 0.

Лукасевич вводит четыре дефиниции:

дефиниция отрицания - U: Пp(ù p=p ® 0);

дефиниция дизъюнкции - U: Пpq (pÚ q = (p ® q) ® q);

дефиниция конъюнкции - U: Пpq ((pÙq) = ù (ù pÚù q));

дефиниция эквивалентности - U: Пpq(p «q = (p ® q) Ù (q ® p)).

Утверждения получаются из аксиом и дефиниций при помощи следующих правил вывода:

1. Каждое выражение принадлежит исчислению, если оно возникает из утверждения, содержащего переменные и квантор, посредством подстановки 0 или 1 на место переменных.

2. Каждое выражение, эквивалентное некоторому выражению, принадлежащему системе, также принадлежит исчислению; каждое выражение можно отбросить, если оно эквивалентно отбрасываемому выражению.

3. Каждое выражение принадлежит исчислению, если оно в результате подстановки 1 вместо выражения исчисления, или 0 вместо выражения, не принадлежащего исчислению, переходит в утверждение; можно отбросить каждое выражение, которое в результате такой подстановки переходит в отбрасываемое выражение.

4. Каждое выражение, содержащее переменные и кванторы, в которое вместо переменных подставляются 1 и 0, принадлежит исчислению, если в результате такой подстановки получаются исключительно утверждения системы.

Эти правила вывода Лукасевич считал очевидными, исходя из свойств введенных символов, и полагал их обоснование достаточным. Свойства логических функторов эксплицировались при помощи записей, эквивалентных истинностнозначным таблицам; приводилась также табличная процедура проверки истинности утверждений. Затем Лукасевич из аксиом и дефиниций выводит 40 утверждений исчисления высказываний.

Табличный метод проверки истинности предложений не является результатом оригинальной идеи Лукасевича и был известен ранее, но в его работе едва ли не впервые этот способ проверки истинности обсужден систематически. Необходимо отметить трактовку истинностных значений в духе Фреге как денотатов предложений и введение наряду с правилами утверждения также правил отбрасывания, которые позже будут использованы при формализации логики Аристотеля и модальной логики. Дефиниция дизъюнкции сформулирована таким образом, что может быть использована и в трехзначной логике. Таким образом, в обсуждаемой работе содержаться идеи, которые позже будут развиты в трудах варшавской школы логики.

И все же логическая система в статье [1920b] все еще весьма несовершенна. Прежде всего Лукасевич не различает теорию и метатеорию, поскольку функтор импликации воспроизводится им при помощи оборотов "если, то" и "следует", а этот последний принадлежит метаязыку; подобное же происходит и с символами утверждения и отбрасывания. Состав и формулирование правил вывода усложнены и это является следствием присутствия в посылках кванторов, которые Лукасевич ввел руководствуясь идеями Лесьневского, но они не играют в системе из [1920b] такой роли, как в Прототетике и приводят к излишним сложностям. В итоге эта система представляет собой смесь различных идей и намерений, некоторые из которых позже были развиты, а другие - отброшены.

Начиная с 1920 г. преподавание логики на естественно-математическом отделении Варшавского университета расширилось: были введены спецкурсы, семинары и прочие формы обучения. Заинтересованность студентов-математиков логикой постепенно возрастает и многие выбирают ее своей специализацией. В конце 20-х годов заканчивают учебу и приступают к научной работе в области логики Тарский, Вайсберг, Линденбаум, Ясковский, Пресбургер и Собоцинский (последний был философом по образованию), а в тридцатые годы к ним присоединяются Мостовский, Слупецкий и Леевский. Семинары Лесьневского и Лукасевича представляют собой научные коллективы, интенсивно работающие над проблемами логики. Все заметнее становится ведущая роль Тарского, который написав докторскую диссертацию под руководством Лесьневского затем перешел к сотрудничеству с Лукасевичем.^[183] Влияние обоих корифеев школы, исповедывавших различные парадигмы философии языка (философии имени - Лесьневским и философии предложения - Лукасевичем), сказалось со всей силой в эпохальном творении Тарского - формулировании критерия истинности.

Несомненно решающим фактором развития логики в Варшаве было нахождение Лесьневского и Лукасевича в среде математиков, которые, о чем уже упоминалось, приязненно встретили львовских отступников философии. В среде варшавских математиков сложился особенно благоприятный климат для развития логики и в этой среде Лукасевич и Лесьневский считались нормальными партнерами научной деятельности. Они не считали себя математиками, не хотели и уже не могли быть философами и в этой ситуации были обречены стать логиками. Логика трактовалась ими как наука, тесно связанная с математикой, но и автономная.^[184]

Постулируя автономность логики, вызванную эмансипацией не только от математики, но в первую очередь от философии, Лукасевич и Лесьневский, невзирая на отступнические заверения, все же сохранили связь с философией в том смысле, что старались понять смысл утверждений логики и их интуитивную мотивацию; разрыв с философией касался единственно способа философских спекуляций.^[185]

Другое объяснение феномена школы, дополняющее вышеприведенные соображения, хотя и носит психологический характер, все же, как кажется, имеет место. Психологические мотивы бывших львовских философов и варшавских математиков совпадали, что и создало тот климат, о котором сказано выше. А именно, возрождение независимой Польши в патриотически настроенных умах и душах вызвало порыв самоутверждения, подкрепляемый признанием "со стороны". С этой целью варшавскими математиками были сознательно выбраны те области этой дисциплины, в которых, если не завоевать признание было легче, то, по крайней мере, обратить на себя внимание; с этой целью были выбраны топология и теория множеств. Львовские математики во главе с Х.Штейнгаузом и Ст.Банахом таких забот не знали и до тесного сотрудничества между ними и философами дело не дошло, хотя попытка повторить варшавский эффект во Львове и была сделана в 1930 г., когда открылась кафедра математической логики, занятая Л.Хвистеком, а не Тарским, также претендовавшим на нее. Работая в новых областях математики варшавские ученые нуждались в поддержке, а таковую (не только психологически) предоставляла логика, контролируя каждый шаг на неизведанном пути. С другой стороны, для логиков, оставивших философские спекуляции, связанные не в последнюю очередь с вопросами существования, математика предоставила структуры, существование объектов в которых было самодостаточным. Коротко говоря, варшавские математики и логики нуждались друг в друге и сумели превратить психологические предпосылки в ту область человеческого знания, которая получила позже название метаматематики.

Продолжая науковедческие рефлексии о развитии варшавской логической школе трудно выделить Лукасевича как одинокого лидера, но в теории дедукции он был несомненно зачинателем и главным действующим лицом. Акцент на дедукции как главном методе научной деятельности, а также автономность логики, или лучше сказать, ее независимость от математики и философии привели к тому, что лозунг "логика для логики" стал общепринятым в школе. Этот лозунг выражает также и существенные свойства теории дедукции, например, замкнутость ее процессов относительно результатов, т.е. формул. В школе ставились многочисленные рекорды, например, предлагалось отыскать различные кратчайшие аксиоматики исчисления высказываний. Подобные "задачи" в сочетании с трехгодичным курсом логики для студентов-математиков привели к тому, что многие из них начинали специализироваться в логике. Атмосферу, царящую в варшавской среде логиков хорошо передает вступление к широко известной статье Лукасевича и Тарского "Исследования исчисления высказываний": "В последние годы в Варшаве проводились исследования, относящиеся к той части метаматематики, или лучше - металогики, областью исследований которой является простейшая дедуктивная дисциплина, а именно, т.н. исчисление предложений. Эти исследования инициировал Лукасевич; первые результаты принадлежат также ему и Тарскому. На семинаре математической логики, проводимом с 1926 г. под руководством Лукасевича в Варшавском университете, получено и обсуждено большинство результатов Линденбаума, Собоцинского и Вайсберга. Систематизацию всех этих результатов и уточнение используемых в них понятий произвел Тарский".([1930], S.129) А в Предисловии к своим "Элементам математической логики" Лукасевич писал: "Пожалуй, наиболее я обязан той научной атмосфере, которая сложилась в области математической логики в Варшавском университете. В дискуссиях с моими коллегами, главным образом с г.проф.Ст.Лесьневским и г.доц.др. А.Тарским, а часто с моими и их учениками, я ни одно понятие выяснил для себя, присвоил ни один способ выражаться и ни об одном новом результате узнал, о которых сегодня уже не смог бы сказать кому принадлежит их авторство." ([1929], S.9)

И наконец, успехи в логике варшавской части этой философской школы объясняются во многом организационными факторами, которые "вызвал к жизни" опять же главным образом Лукасевич. Все же следует заметить, что не столько организационные формы, сколько позиция львовских учеников Твардовского, повторивших методологические установки своего учителя, способствовала возникновению таких форм. Это замечание относится прежде всего к Лукасевичу и Котарбинскому. Так уже во Львове существовала логическая секция Польского философского общества. Такая же секция существовала и в Варшавском философском институте, а позже - в Польском философском обществе в Варшаве. Перед войной было начато издание I тома "Collectanea Logica" - специализированного журнала, посвященного логике и являющегося органом Польского логического общества; весь тираж этого тома был уничтожен во время бомбардировки Варшавы. Эпизодически выходили работы варшавских логиков в издании, которое можно было бы назвать препринтным, носящее заголовок "Studia Logica" и редактируемое Лукасевичем. Несомненно, появление институциональных форм является заслугой Лукасевича, считавшего, что автономно понимаемая логика как научная дисциплина требует отдельных организаций и отдельных изданий.

§3. Я.Лукасевич и история логических исследований во Львовско-варшавской школе.

(классическая логика)

В истории развития логики, главным образом классического пропозиционального исчисления, имя Лукасевича занимает в школе центральное место. Созданная им бесскобочная нотация считается визитной карточкой польской логической мысли. Во Львовско-варшавской школе этот вид записи формул использовался повсеместно (исключение составляет Лесьневский, но и он писал функторы перед аргументами).^[186]

Следующая таблица устанавливает соответствие между одной из нотаций, использующей скобки, и польской записью функторов^[187]:

отрицание	ù p	Np
импликация	p®q	Cpq
конъюнкция	pÙq	Kpq
альтернатива	pÚq	Apq
дизъюнкция	p/q	Dpq
эквивалентность	p«q	Epq

Два простых примера позволят объяснить использование бесскобочной символики. Рассмотрим формулы p ® (p®ù q) и (p ® p)®ù q. В т.н. польской нотации эти формулы имеют следующий вид: CpCpNq и CCppNq. Правильно построенная формула должна начинаться с заглавной литеры, т.е. с функтора, который одновременно является главным функтором всей формулы; в обоих примерах такой функтор обозначается литерой С (первое вхождение). Аргументом главного функтора является либо пропозициональная переменная (первый пример), либо формула, составленная из констант и переменных (второй пример). Для бесскобочной нотации существуют сугубо структурные критерии, устанавливающие, является ли данная последовательность, состоящая из больших букв и малых литер правильно построенной формулой.^[188]

Рассмотрим критерий правильности построения формулы в бесскобочной нотации на примере исчисления предложений эквивалентности из работы Лукасевича [1939], критерия, который является незначительной модификацией аналогичного критерия Яськовского для системы, содержащей только функторы импликации и отрицания. Выражение, составленное из литер E и малых литер правильно построено тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

(1) число литер E, входящих в выражение, должно быть на единицу меньше числа малых литер;

(2) в каждой части последовательности, начинающейся в произвольном месте выражения и продолжающейся до его конца, число литер E должно быть меньше числа малых литер.

Оба условия независимы, что легко может быть показано на примерах. Так, выражением EpEqr выполняются оба условия и оно правильно построено. Выражение EpqEr выполняет первое условие, однако не выполняет второго, ибо в части, начинающейся со второй литеры E число литер E не меньше числа малых букв. Выражение pEEqrs выполняет второе условие, но не выполняет первое, т.к. число литер E в этом выражении не на одну, а на две литеры меньше числа малых букв. Наконец, выражение pqEErs не выполняет ни первого, ни второго условия. Последние три выражения не являются правильно построенными.

На основании приведенных условий Лукасевич формулирует правило, позволяющее установить правильность какого-либо выражения, составленного из малых и больших литер.

Правило проверки правильности произвольного выражения состоит в том, что вначале каждой литере E приписывается число -1, а каждой малой литере - +1. Затем последовательно, начиная с последнего правого числа, подчиненного литере, суммируем числа, продвигаясь налево, к началу выражения. Следующий пример поясняет эти действия:

E E E p q E r s E t u

1 2 3 4 3 2 3 2 1 2 1

Литере u соответствует +1, литере t - также +1; 1 плюс 1 дает 2. Литере E соответствует -1, а поэтому суммируя это значение с предыдущей суммой, т.е. 2+(-1)=1, результат подписываем под E. Если выражение правильно построено, то согласно первому условию сумма, соответствующая всему выражению и записанная в самом начале должна равняться 1, а согласно второму условию все частичные суммы, соответствующие отдельным отрезкам выражения, должны быть положительными. Достаточно взглянуть на приведенное в качестве примера выражение с тем, чтобы убедиться в его правильности.

Польская нотация является однозначной в том смысле, что каждая конечная правильно построенная последовательность больших и малых литер имеет один и только один перевод в стандартную нотацию, использующую скобки. Прагматический аспект польской записи анализируется Воленским [1985], который считает, что главным достоинством бесскобочной символики является экономия алфавита, поскольку польская нотация не требует вспомогательных знаков (точек, скобок) и правил группирования таких знаков (их числа и формы). Если в скобочной записи структура, а значит и смысл формулы определяются использованием скобок, то в польской символике структура формулы зависит исключительно от позиции литер. Однако с дидактической точки зрения символика Лукасевича считается интуитивно трудно воспринимаемой и поэтому большинство учебников по логике написаны с использованием скобок. Отмечается, что если речь идет о коротких формулах, то оба типа нотации имеют одинаковые возможности ориентации в структуре выражения, тогда как в формулах средней длины скобочная символика удобнее, но длинные формулы - считает польский исследователь школы - в бесскобочной записи более читабельны.^[189].

Бесскобочная символика отражает определенные представления варшавских логиков, связанные со свойствами логических систем. Такие системы должны, конечно, удовлетворять основному условию - быть непротиворечивыми, но кроме этого, если возможно, быть полными и основываться на независимых аксиомах и первичных понятиях. Последнему условию, принимаемому обычно как желательное, а не обязательное в школе уделялось особое внимание и считалось, что взаимная зависимость первичных понятий и аксиом является серьезным недостатком.

В 20-е годы уже было известно, что исчисление высказываний можно построить, основываясь на различных системах первичных понятий и аксиом. Возник вопрос: можно ли и как сравнивать такие аксиоматики в предположении, что построенные на них исчисления высказываний являются непротиворечивыми и полными? Определенные критерии сравнения аксиоматик использовались давно. Так независимая система аксиом лучше зависимой. Далее, можно сказать, что лучшей является независимая аксиоматика, основывающаяся на независимых первичных понятиях, чем независимая аксиоматика, но основывающаяся на зависимых понятиях. Отсюда можно сделать вывод, что лучшей является аксиоматика, использующая меньшее число первичных терминов (понятий)^[190].

В школе были сформулированы также дополнительные критерии. Они касались числа аксиом, их длины, числа различных переменных и т.н. органичности аксиом. Первый критерий прост: чем меньше аксиом содержит исчисление - тем оно лучше, поэтому оптимальной является одноэлементная аксиоматика. Этой позиции, как было показано ранее, придерживался Лесьневский. Определим длину аксиоматики числом входящих в нее символов. Из двух аксиоматик, содержащих одинаковое число первичных символов и одинаковое число аксиом, лучшей является более короткая аксиоматика. Предположим, что существуют две аксиоматики одной длины, но записанные при помощи различных переменных. В этом случае лучшей является аксиоматика, содержащая меньше отличных друг от друга переменных. Органичной называется такая формула системы, никакая собственная часть которой не принадлежит исчислению; например, формула CqCpp является неорганичной. Из двух аксиом - органичной и неорганичной лучшей является аксиома органичная. Понятие органичной формулы происходит от Лесьневского, а ее дефиниция - от Вайсберга. Впервые она была опубликована Лукасевичем и Тарским[1930a]. В конечном счете идеальная аксиоматика должна состоять из одной органичной аксиомы минимальной длины и по возможности с наименьшим числом различных символов. Наиболее естественно приведенные критерии применимы к исчислениям высказываний, но в школе искали подобные критерии и для более богатых систем. Так Линденбаум [1936] привел критерий простоты для произвольных функторов, заключающийся в том, что функтор F₁ проще функтора F₂, если число аргументов F₁ меньше числа аргументов функтора F₂, а в случае, если оба функтора имеют одинаковое число аргументов, то F₁ будет проще, если по крайней мере один из его аргументов будет более низкого логического типа, чем произвольный аргумент F₂ и никакой аргумент F₁ не принадлежит к более высокому типу, нежели произвольный аргумент F₂. Этот критерий применим, например, к системам Лесьневского.

Приведенные критерии отражают культивируемый в варшавской части школы лозунг «логика для логики». Ниже приводится обзор некоторых результатов классического исчисления высказываний.

Наиболее известной системой исчисления высказываний является система, основанная на импликации и отрицании как первичных терминах. В школе был известен ряд аксиоматик этой системы. Одна из первых принадлежит Лукасевичу [1925], а все исчисление подробно изложено в [1929]. В качестве аксиом Лукасевич принимает следующие формулы:

(1) CCpqCCqrCpr

(2) CCNppp

(3) CpCNpq

Правилами вывода являются правила подстановки, отделения и замены по определению. Последнее правило сформулировано следующим образом: если x доказуемо в исчислении, а y есть часть x, эквиморфная правой стороне одной из дефиниций Dpq=CNpq, Kpq=NCpNq, Apq=CpNq, Epq=NCCpqNCqp относительно подстановки, то каждое выражение, полученное из x заменой y выражением эквиморфным с левой стороной дефиниции либо ее подстановкой, является доказуемым в системе.

Таким образом, в основе исчисления лежат правила подстановки, отделения и замены по определению. В варшавской школе схемы аксиом использовались только при формализации металогических и метаматематических исследований; конструкции же логических систем были сформулированы исключительно при помощи конкретных формул. Символ равенства по определению (“=”) не принадлежит языку системы. Лукасевич трактует дефиниции как сокращения, считая их теоретически излишними. Лесьневский же в вопросе о дефинициях занимал иную позицию, но и Лукасевич позже изменил взгляд на дефиниции, о чем будет сказано ниже. Так в рассматриваемой системе роль дефиниций сугубо прагматическая, ибо они не носят характер творческий и Лукасевич считает, что дефиниции не являются доказуемыми выражениями, но лишь "равенствами на полях теории".

Из аксиом (1)-(3) при помощи правил подстановки, отделения и замены Лукасевич выводит 143 формулы исчисления высказываний. Доказательство занимает 19 страниц и с учетом словесного комментария для столь значительной части пропозиционального исчисления должно считаться весьма компактным,. Этот эффект был достигнут благодаря использованию экономичного метода записи структуры доказательства. Пример поясняет метод Лукасевича^[191]:

(1)p/Cpq, q/CCqrCpr, r/s *C(1)-(4)

(4) CCCCqrCprsCCpqs.

Реконструкция доказательства формулы (4) состоит из следующих шагов. В аксиому (1) производится подстановка: вместо переменной p - выражение Cpq (этому шагу соответствует секвенция (1)p/Cpq), вместо переменной q - выражение CCqrCpr (секвенция q/CCqrCpr), вместо переменной r - переменная s (секвенция r/s); все подстановки совершаются в аксиому (1), что в строке доказательства сигнализируется тем, что между первым вхождением литеры p в этой строке и последним вхождением s (последняя литера перед звездочкой) не находится ни один номер аксиомы или формулы. После подстановки получается выражение CCCpqCCqrCprCCCCqrCprsCCpqs. Посылка этой импликации (главного функтора С), т.е. выражение, начинающееся вторым вхождением литеры С и кончающееся вторым вхождением r, представляет собой аксиому (1), а следствие - доказуемую формулу. Поскольку подстановка осуществлялась в формулу исчисления, а настоящая формула является таковой, и правило подстановки говорит, что результат подстановки также принадлежит исчислению, то можно применить правило отделения, о чем информирует последовательность *C(1)-(4).

Описанный способ доказательства в дальнейшем использовался учениками Лукасевича.^[192]

Помимо исчисления, основанного на аксиомах (1)-(3) в варшавской школе использовались и другие импликативные аксиоматики. Вот некоторые трехэлементные системы аксиом: CCCpqrCNpr, CCCpqrCqr, CCNprCCqrCCpqr - Лукасевич [1929]; CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CCNprCCqrCCpqr - Лукасевич [1930]; CNpCpq, CpCqCrp, CCNprCCqrCCpqr - Собоцинский [1954]; CCpqCNqCpr, CpCqCrp, CCNpqCCpqq - Собоцинский [1954].

Все приведенные импликативно-негативные аксиоматики используют те же правила и дефиниции, что и логическая система, представленная аксиомами (1)-(3).

В 20-е годы Лукасевич поставил задачу нахождения одноэлементного импликативно-негативного базиса (базис = аксиоматика). История поисков (изложенная в Собоцинский [1932] и частично в Лукасевич [1936], а более полно в Воленский [1985]) такова:

Тарский (1925) - аксиома из 53 литер:

СССССsCtCtCvCvvCCCCCpCqrCCpqCprCCCNpNqCqpxxyyCCpCqpzz;

Лукасевич (1927) - аксиома из 43 литер:

CCCsCtCtCpCqpCCCCCpCqrCCpqCprCCCNpNqCqpvvee;

Лукасевич (1927) - аксиома из 39 литер:

СССaCbCdaCCCCCpCqrCCpqCprCCCNpNqCqpvvee;

Лукасевич (1927) - аксиома из 38 литер:

СССaCbCdCedCCCNstCCNsNtsCCCpqCCqrCprzz;

Собоцинский (1927) - аксиома из 36 литер:

CCCaCbCdaCCCNmCqCNrNpCCmCqrCCpqCpree;

Лукасевич (1927) - аксиома из 35 литер:

CCCaCbCdaCCCNmCqCqNpCCmCqrCCpqCpree;

Лукасевич (1927) - аксиома из 33 литер:

CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuvCwv;

Этот далеко не полный список заключает аксиома Лукасевича, состоящая из 23 литер:

CCCpqCCCNrNstrCuCCrpCsp.

Поиск кратчайшей импликативно-негативной аксиомы не сводился исключительно к вопросу о числе литер. Варшавские логики искали также и органическую аксиому. Таковой является 27 буквенная аксиома Собоцинского (1927): CCCpqCCCNpNrsCrtCuCCtpCvCrp.

В школе исследовались также аксиоматики, использующие другие первичные термины. Лукасевич [1930] приводит дизъюнктивно-негативную аксиоматику: ANANANpqrANpr, ANANApqrANpr, ANANApqrANqr с правилами подстановки, отделения (если ANxy и x суть истинные формулы, то y - также истинная формула), дефинициями оставшихся функторов и правилами замены по определению. Особенно важна дефиниция Cpq=ANpq, которая позволяет представить аксиомы в следующем виде: CCApqrCpr, CCApqrCqr, CCprCCqrCApqr; эти аксиомы являются дизъюнктивно-импликативными и в явном виде отрицания не содержат.

Вайсберг [1938] сформулировал аксиоматику, в которой первичными терминами являются C и 0 (ложь): CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCCpqpp, C0p + правило подстановки, правило отделения, дефиниции, например, Np=Cp0, а также правило замены по определению. Правило замены по определению привлекло внимание польских логиков в связи с функцией Шеффера, обнаружившего две взаимно дуальные двухаргументные функции, позволяющие определять все функторы классической логики.^[193] В использовании функций Шеффера для аксиоматизации классического исчисления высказываний первым успехов добился Нико (Nicod) [1917]. Его аксиоматика содержала единственную аксиому DDpDqrDDtDttDDsqDDpsDps, правило подстановки и правило отделения (если DxDxy и x суть истинные формулы, то и y также истинная формула). Лукасевич [1931], заменяя в аксиоме Нико переменную t переменной s, получил формулу DDpDqrDDsDssDDsqDDpsDps. Она является частным случаем исходной формулы и вместе с тем аксиома Нико следует из аксиомы Лукасевича. Этот факт Лукасевич считал контрпримером известному мнению будто дедукция не обобщает и ставил вопрос: "Могут ли и какие общие черты иметь обобщающие формулы?" ([1931], S,174) Однако обе аксиомы являются неорганичными (в аксиоме Нико это выражение DtDtt, а у Лукасевича - DsDss). Позже Лукасевичем [1931] и Вайсбергом были найдены органические аксиомы исчисления предложений, использующие исключительно функтор строгой дизъюнкции. Во всех дизъюнктивных системах, кроме уже упомянутых правил подстановки и отделения, принималось также правило замены, предполагающее дефиницию функторов N, K, A, C, E при помощи функтора D.