Неадекватная символизация Адекватная символизация 12 страница

Трудность с интерпретацией истинностных значений была замечена вскоре после создания многозначных логик. Даже в отношении принципа противоречия (не говоря уже о принципе исключенного третьего) заметна несогласованность исходных позиций Лукасевича и полученных им результатов. Он пишет: "Кто бы там не хотел что-нибудь сказать плохое о многозначных логиках, все же тот не может отрицать того, что несмотря на их существование нетронутым остался принцип исключенного противоречия. Это истина безотносительная, обязывающая все логические системы под угрозой, что в случае ее преступления вся логика и вообще все научные исследования стали бы бесцельными".(S.219) На первый взгляд складывается парадоксальная ситуация: в L₃ принцип противоречия не имеет места, но является "безотносительной истиной". Действительно, пусть предложение a имеет оценку 1/2 (a=1/2). Тогда в соответствии с таблицей отрицания в L₃ не-a = 1/2. Конъюнкция в L₃ определяется таким образом, что предложение "a и не-a"=1/2, если члены конъюнкции имеют оценки 1/2. Наконец, предложение "не-(a и не-a)"=1/2 и оно не является тавтологией L₃. Однако достаточно вспомнить, что Лукасевич формулировал принцип противоречия (позже он говорил о "принципе исключенного противоречия") следующим образом: два противоречащих предложения не могут быть одновременно истинными. Это последнее утверждение вовсе не противоречит тому факту, что для a=1/2 закон противоречия не имеет места, поскольку тот факт, что a=1/2 и не-a=1/2 не означает, что a=1 и не-a=1. Поэтому для многозначных логик можно сформулировать обобщенный принцип противоречия: два отрицающих друг друга предложения не могут иметь выделенного значения и, как легко видеть, случай a=1/2 и не-a=1/2 не вступает в конфликт с обобщенным принципом противоречия. Этот случай свидетельствует только о том, что два противоречащих друг другу предложения могут обладать невыделенными значениями.

Аналогично можно сформулировать и обобщенный принцип исключенного среднего: из двух противоречащих друг другу предложений одно должно иметь выделенное значение. И этот принцип не имеет места в L₃, но можно представить себе систему с n>2 (ревизия принципа двузначности), сохраняющую принцип исключенного среднего так же, как существуют двузначные системы, не являющиеся классическими; все зависит от определения логических функторов отрицания и дизъюнкции

Этот вывод применительно к логическому творчеству Лукасевича не является неожиданным: тот, кто выбрал процесс точкой приложения своих усилий должен сделать его и предметом, т.е. результатом изучения. Тот факт, что уровень процессов оказался синтаксическим свидетельствует лишь о том, что язык для Лукасевича начинал выполнять роль эмпирии. Вот как он описывал тот образ, что возникал у него в связи с изучением логического синтаксиса языка: "Сколько бы я не занимался даже мельчайшими логическими проблемами, ища, например, кратчайшую аксиому импликативного исчисления, столько же и чувствую, что нахожусь рядом с какой-то мощной, неслыханно сплоченной и неизмеримо крепкой конструкцией. Эта конструкция действует на меня как некоторый конкретный осязаемый предмет, сделанный из самого твердого материала, во сто крат тверже, чем бетон и сталь. Ничего я в ней изменить не могу, ничего произвольно не создаю, но напряженным трудом открываю в ней все новые и новые подробности, достигая истин непоколебимых и вечных. Где и чем является эта идеальная конструкция? Верующий философ сказал бы, что она в Боге и является Его мыслью."(S.219)

В завершение представленного здесь успеха в изучении синтаксиса и неудачи в семантике следует очертить отношение Лукасевича, если не к прагматике, как части семиотики, то к прагматизму. Свидетельств отрицательного отношения Лукасевича к прагматизму в связи с вопросом об истинностном значении достаточно. Он прямо пишет: "Не признаю прагматизм как теорию истины и считаю, что никто, будучи рассудительным, не признает этой доктрины. Не думаю также и о том, чтобы прагматически проверять истинность логических систем. Логические системы не требуют такой проверки. Я хорошо знаю, что все логические системы, которые мы создаем, при тех предпосылках, при которых они создаются, истинны по необходимости".(S.218) Однако в подходе к номинализму прагматизм редуцировался к прагматике. Лукасевич писал, что математическая логика имеет номиналистическое одеяние, т.к. трактует предложения и имена как записи определенной формы, а не рассматривает их как суждения или понятия. Номинализм вызывал в нем сомнения, как кажется, практического характера, поскольку номиналистически записи должны пониматься как конечное множество инскрипций, ибо человек может создать только конечное их количество. Между тем логические и математические системы (в смысле Тарского) составлены из бесконечного числа формул. Защита номинализма, состоящая в ограничении множества формул где-то и когда-то записанных делает невозможным использование методов метаматематики. Поэтому Лукасевич считает, что логики и математики используют лишь номиналистическую терминологию, а в сущности не являются номиналистами: исследуемая логиками реальность лежит вне сферы записей. А поскольку Лукасевич не занимал какой-либо выразительной философской позиции, то опять же реальность, с которой он имел дело, сводилась не к процессам этой реальности, т.е. экстралингвистическим, а к процессам интралингвистическим; в них он видел и результат этих процессов, т.е. предмет исследования, который должен быть назван. Таким образом Лукасевичу не удалось избежать номинации, но номинации интралингвистической, осуществляемой логическими функторами, т.е. просто говоря, номинации результата интралингвистического процесса, коим была правильно построенная формула. Философ, поставивший во главу угла процесс, отношение, а также поиск этих простых и необходимых отношений был обречен, будучи и логиком, именовать результаты этих процессов. Подобно тому как Лесьневский был обречен на бесконечный процесс номинации, видя перед собой предмет и его имя, так и Лукасевич, поставивший целью процесс, свел его в конечном счете к результату и имени, сделав это однако на синтаксическом уровне, ибо на этом уровне процесс и результат эквивалентны. Выражением результата стала бесскобочная нотация. Там же, где акцент делался на процессе, например, вывода, там тот же естественный вывод Яськовского не получил распространения, хотя и был открыт значительно раньше генценовского. Эта первая неудача никого не насторожила в варшавской логической школе и тому были свои причины. Прежде чем их упомянуть, вспомним, что генценовская форма записи правил содержит как изображение процесса вывода, с участвующими в нем формулами, так и результат этого процесса. Резюмируя можно сказать, что префиксная форма записи формул не всегда пригодна для изображения процесса, даже интралингвистического, т.е. на синтаксическом уровне. Таким образом, Лукасевичем процесс, в частности, семиотический процесс записи формул посредством функторов, был фактически исключен из логической практики. Естественно, немедленно последовала реакция и процесс был восстановлен: операция Cn(X) присоединения следствий явилась тем компенсаторным механизмом, что вознес логику на более высокий уровень метатеории. Попутно следует отметить ту интересную деталь, что Лукасевич, на семинарах которого были получены фактически все логические результаты, сам практически не пользовался понятием метатеории вплоть до последних публикаций.

Другой особенностью кодификационной системы Лукасевича является трактовка модальностей как функторов, понимаемых, впрочем, экстенсионально. Эта особенность неудивительна, если учесть, что в польской нотации синтаксис логических функторов и операторов модальностей одинаков. Но, очевидно, что семантика модальностей и логических знаков различна: первые соотносятся с положением дел в реальности непосредственно и у Лукасевича выражают вследствие своей экстенсиональной трактовки положение вещей, что можно было бы обозначить терминами "Sachverhalt" или "объектив", которыми он пользовался в раннем периоде творчества, вторые же соотносятся с реальностью опосредованно, через истинностные оценки. Если логический знак, с учетом его роли не только в тавтологиях, может быть назван маркером целостности, то оператор модальности - маркером анализа, разлагающим оценку "истина".

§ 5. Исторические исследования логики Я.Лукасевичем.

Лучшим подтверждением изложенного выше тезиса о том, что творчество Лукасевича развивалось в парадигме философии предложения, а не имени может служить сравнение им двух подходов к логике - у Аристотеля и стоиков. Совершенно явным образом Лукасевич отдает предпочтение последнему. Прежде чем перейти к систематическому изложению исторических исследований приведем цитату, которая позволит расставить акценты в диалектике древних авторов. В работе "Из истории логики предложений"[1934] Лукасевич пишет: "Основное различие, которое имеет место между логикой стоиков и аристотелевской логикой состоит в том, что в стоической диалектике имеются условные и разделительные периоды, тогда как в аристотелевской логике имеются только категорические предложения. [...] Основное различие между этими двумя античными системами состоит в том, что в стоических силлогизмах переменные являются пропозициональными переменными, а в аристотелевских - именными".(S.180) Важно подчеркнуть, что среди "основных различий" Лукасевич не видит связки <есть>, т.е. его совершенно не интересует, каким образом строится из имен категорическое предложение: он принимает его как данное, отмечая лишь различие внешнее в виде различия синтаксических категорий. Эта аберрация зрения представляет собой разительный контраст с позицией Лесьневского, для которого связка <есть> была основным средством для получения тех же предложений.

Изучая логику стоиков Лукасевич [1927],[1934] показал, что их логика была логикой предложений, а не логикой имен. Поэтому логика стоиков - это система правил вывода, а не совокупность формул. Таким образом, между этими логиками имеется двойное различие: аристотелевская логика является логикой имен и системой предложений, а логика стоиков - логикой предложений и системой правил вывода. Однако, как показал Лукасевич, стоики знали метод преобразования правил в формулы; так они говорили, что силлогизм, состоящий из посылок x и y и заключения z называется правильным, если истинной является импликация CKxyz. Лукасевич также показал, что т.н. недоказуемые силлогизмы стоиков, например, правило отделения, выполняют роль аксиоматических правил. Выяснены Лукасевичем также и некоторые метатеоретические вопросы логики стоиков: эта логика была сугубо двузначной, в ней использовалось понятие истинностнозначной функции, в частности, стоикам были известны отрицание, импликация, конъюнкция и разделительная дизъюнкция. Они были знакомы со спорными вопросами, связанными с интерпретацией импликации. В силлогизмах стоики использовали материальную импликацию, определенную Филоном из Мегары, но другой мегарец - Диодор говорил, что импликация истинна тогда и только тогда, когда антецедент не может быть истинным, а консеквент - ложным. Подытоживая особенности логики стоиков Лукасевич указывает, что они вполне осознавали, что ими была создана система совершенно отличная от логики Аристотеля и более фундаментальная.

Взгляд Лукасевича на историю логики удается уточнить в результате сравнения двух наиболее старых теорий силлогистики: условного силлогизма стоиков и категорического силлогизма Аристотеля. Большинство фактов, которые приводит Лукасевич для обоснования интерпретации логики стоиков были известны и ранее, в частности тот, что стоики некоторые правила вывода принимали как недоказуемые или же использовали смысл импликации. Лукасевич задается вопросом: почему эти факты не трактовали надлежащим образом? По его мнению ошибки предыдущих историков логики объясняются незнанием ими формальной, или математической логики, которую они и не могли знать. Таким образом, считает Лукасевич, компетентным историком логики может быть только тот, кто усвоил основные достижения современной логики. Более того, по мнению Лукасевича, математическая логика является естественным обобщением традиционной формальной логики и поэтому для понимания последней необходимо знакомство с первой.

С этих позиций Лукасевич [1939] пробует ответить на вопрос: "[...] Какой силлогизм является первым, категорический или гипотетический". Он продолжает: "Итак категорический силлогизм является аристотелевским силлогизмом, а гипотетический - стоиков. Наш спорный вопрос тем самым касается отношения аристотелевской логики к [логике] стоиков и сводится к утверждению, какая из этих систем первая, т.е. по моему мнению, какая является первой логически".(S.187) Ответ Лукасевича категоричен: "Сегодня мы знаем, что логика предложений имеет несравненно большее значение, чем этот убогий фрагмент логики имен, который содержится в аристотелевской силлогистике. Логика предложений является фундаментом всех логических и математических систем".(S.188) Единственное достоинство, которое видит Лукасевич в системе Аристотеля - ее построение аксиоматическим методом. Несомненно, реконструкция логики стоиков Лукасевичем оказалась значительным достижением, получившим всеобщее признание, чего нельзя сказать про реконструкцию силлогистики Аристотеля, которой, как считает польский логик, он возвращает первозданную форму.

Ревизия силлогистики Аристотеля была начата Лукасевичем в ряде статей [1934],[1939] и систематически изложена в монографии [1951a] с участием Слупецкого [1949]. Уже в [1934] он заметил, что Аристотель силлогизмы формулировал в виде импликации, а не как правила вывода. Например, модус Barbara представляет собой предложение <если каждое M есть P и каждое S есть M, то каждое S есть P>, но не является правилом для посылок <каждое M есть P>, <каждое S есть M> и заключения <каждое S есть P>. Лукасевич утверждает, что Аристотель формулировал свои силлогизмы исключительно при помощи общих терминов.

В более поздних работах [1939],[1951a] Лукасевич видит силлогистику как аксиоматическую систему, в которой возможно применение законов исчисления высказываний. Этот взгляд послужил основанием для интерпретации логики Аристотеля как аксиоматической системы в современном ее понимании. Силлогистика надстроена над исчислением высказываний, т.е. в логике Аристотеля, считает Лукасевич, можно пользоваться всеми законами исчисления предложений. Первичными символами, называемыми также функторами, являются символы U (каждый... есть) и I (некоторые... есть), а аксиомами - формулы (малые литеры обозначают переменные для имен) Uaa, Iaa, CKUmbUamUab, CKUmbImaIab. Две первые аксиомы являются формализацией закона тождества, а две вторые - представляют в понимании Лукасевича силлогизмы Barbara и Datisi. Частноотрицательное и общеотрицательное суждения вводятся посредством дефиниций: Oab=NUab и Yab=NIab соответственно. Правилами вывода служат правило отделения, подстановки предложений вместо пропозициональных переменных и имен вместо переменных для имен, а также замены по определению. В так сконструированной силлогистике невозможно получить силлогизмы, отбрасываемые Аристотелем, но и невозможно показать, что эти силлогизмы неверны. Чтобы разрешить этот вопрос Лукасевич расширяет систему и вводит отбрасываемые силлогизмы - прием, введенный впервые в практике дедуктивных систем. В качестве отбрасываемых аксиом Лукасевич вводит формулы ¾½CKUbmUamIab и ¾½CKYbmYamIab, а все ложные силлогизмы исключаются сведением их к отбрасываемым аксиомам при помощи правил: а) можно отбросить каждое выражение, из которого путем подстановки получается отбрасываемое выражение; б) если утверждается импликация Cxy и отбрасывается ее консеквент, то можно отбросить и антецедент.

Так сконструированная логика категорических предложений позволяет вывести все правильные силлогизмы, в ней выполняются все законы непосредственного вывода (логический квадрат, конверсия и т.д.), а также отбросить все 232 модуса силлогистики, дающие ложные заключения. Однако эта система оказалась не совсем разрешимой, ибо в ней не удается отбросить все ложные выражения, например, CKOabObaYab. Решающим шагом в направлении вопроса о разрешимости было формулирование Слупецким специального правила отбрасывания, т.н. правила Слупецкого. Пусть x и y обозначают выражения типа Yab либо Oab, а z - т.н. простое выражение, т.е. Uab, или Iab, или Oab, или Yab, или импликацию, консеквент которой является простым выражением, или конъюнкцией таких простых выражений. Тогда, если отбрасываемы импликации Cxz и Cyz, то отбрасываема также импликация CKxyz. Лукасевич [1939a] дает следующее объяснение мотивам Слупецкого: "Интуитивный смысл этого правила остается в связи с известным утверждением: ex mere negativis nihil sequitur. Никакое нагромождение противоречивых посылок не достаточно для доказательства какого-либо заключения, если это заключение не следует ни из одной из этих посылок отдельно".(S.226) Результат Слупецкого был оценен Лукасевичем как "важнейшее открытие, сделанное в области силлогистики со времен Аристотеля".(S.226)

Реконструкция аристотелевской силлогистики Лукасевичем несомненно является выдающимся достижением формальной логики, однако в результате некоторых модификаций утрачена цель, поставленная Стагиритом. А именно, заключение силлогизма по Лукасевичу может быть истинным, но оно ничего не говорит о сути вещи, которая должна раскрываться по замыслу Аристотеля в силлогизме. Для ее высказывания необходимо расшифровать отношения Uab, Yab, Iab, Oab, выражения которых служат именами для этих отношений. Таким образом, если Лукасевич редуцирует логику имен к логике предложений, то он все таки вынужден вводить имена, но уже для отношений, сводя роль терминов к статусу переменных, т.е. лишая их семантической компоненты. Если связь посылок у Аристотеля осуществляется средним терминов, то для Лукасевича на синтаксическом уровне достаточно конъюнкции. Несмотря на то, что Лукасевич осознает роль имен в силлогистике Аристотеля, в реконструкции этой системы имя играет подчиненную роль и привлекает внимание польского логика главным образом при рассмотрении непосредственного вывода. Система Аристотеля сводится к четырем константам U, Y, I, O и пропозициональным константам "если, то", "и", "не", называемых в совокупности функторами. Если учесть, что пропозициональные константы принимаются в качестве неопределяемых понятий, то к таковым следует отнести также и функторы U, Y, I, O. Между тем аргументы этих функторов отличны от аргументов пропозициональных констант и Лукасевич прекрасно видит эту разницу, однако находясь в парадигме философии предложения он сводит путем именования отношений имена в посылках к пропозиции. Так оно и в действительности есть, ибо силлогистика оперирует реальными суждениями, которые оцениваются как ложные или истинные. Будучи логикой, силлогистика, по мнению Лукасевича, ничего не говорит о существовании. Именно поэтому Лукасевич совершенно игнорирует значение среднего термина. А ведь средний термин вследствие его тождественности в посылках - это единственный термин, из modi significandi которого (при сведении к I фиг.) можно заключить непосредственно о существовании обозначаемого предмета.^[215]

Но самый "большой дефект аристотелевской логики", по мнению Лукасевича, состоит в том, что "в ней не нашлось места единичным терминам и предложениям". ([1951a], С.40) О единичных терминах в предложениях вида "то белое есть Сократ" можно сказать вслед за Аристотелем, что они бывают "случайно" истинными. Эту случайность можно объяснить тем, что Аристотель не хотел ничем ограничивать форму суждения, сознательно разделив определение и суждение (реальное). Если бы он осознавал, что номинальное суждение как вид определения поставляет имена для суждения реального, то не отмечал бы, что единичный термин не может быть предикатом истинного предложения, так же как и наибольший термин не может быть субъектом такого предложения. Лукасевич приводит это замечание Аристотеля в своей работе и приветствует его потому, что общий термин открывает путь к переменным в силлогистике, введение которых польский логик считает величайшей заслугой древнегреческого логика. И это понятно, ведь переменная - это путь к формализации, которую Лукасевич считает предпосылкой научного изложения. Формализации же в логическом творчестве самого Лукасевича подвергается главным образом предложение.

РАЗДЕЛ V. ОТ МЕТОДОЛОГИИ ДЕДУКТИВНЫХ НАУК К ФОРМАЛИЗАЦИИ Языка.

Глава 1. НА ПУТИ ФОРМАЛИЗАЦИИ В ПОИСКАХ ИСТИНЫ.

§1. Из истории метаматематических исследований во Львовско-варшавской школе

Первой публикацией в области метаматематики является книжка К. Айдукевича "Из методологии дедуктивных наук" [1921]. Правда, термин "метаматематика" в ней не используется и автор уже много позже, в 1960 г., все еще определяет ее как "первую польскую работу в области методологии дедуктивных наук, остающуюся под влиянием математической логики". Термин "метаматематика" вошел в обиход в школе, главным образом в ее варшавской части, основной состав которой составляли математики с философской родословной, обязанной "апостатам" философии - Лесьневскому и Лукасевичу^[216]. Однако следует заметить, что в польском восприятии этот род занятий определялся как методология дедуктивных наук.

В своей работе Айдукевич рассматривает три проблемы: понятие доказательства в значении сугубо логическом, непротиворечивость аксиом и понятие существования в дедуктивных науках. Несмотря на то обстоятельство, что публикация Айдукевича в значительной мере является рефератом идей Д.Гильберта, она содержит два оригинальных результата: дефиницию логического следования (предложение В логически следует из предложения А тогда и только тогда, когда импликация А ® В является утверждением логики), а также релятивизацию понятия существования к данной формальной системе. Последний результат в свою очередь способствовал релятивизации других метаматематических понятий к различным системам. Вызванная книжкой Айдукевича дискуссия способствовала развитию методологических исследований дедуктивных наук, которые к концу 20-х годов изобиловали частными результатами, главным образом в области исчисления высказываний.

Весьма важно правильно и по достоинству оценить роль Лесьневского в развитии методологии дедуктивных наук, который, подобно Твардовскому, оставался "в тени" своих учеников, но оказал решающее влияние на ход развития метаматематики. Последовательное разделение Лесьневским языка логической системы и комментариев к ней послужило эвристическим источником для метаматематических исследований в варшавской школе. Нет ничего удивительного в том, что А.Тарский - ученик Лесьневского оказался главным действующей фигурой в проведении метаматематических исследований, которые должны были свободный стиль комментариев к логической системе преобразовать в точные методы изучения этих систем путем разделения уровней языка на язык-объект и метаязык. В проекте метаматематики Тарский учитывал идеи Гильберта, который провозглашал создание теории дедуктивных систем под названием "метаматематики". Свое видение метаматематики Тарский изложил следующим образом: "Дедуктивные дисциплины в том смысле составляют предмет методологии дедуктивных наук, которая сегодня вслед за Гильбертом называется метаматематикой, в каком пространственные объекты являются предметами геометрии, а звери - зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представлены в форме, пригодной для научных исследований. Например, непригодны те, которые не основаны на определенном логическом базисе, не имеют точных правил вывода и утверждения которых, как правило, сформулированы в многозначных и нечетких терминах естественного языка, одним словом те, которые не формализованы. В конечном счете метаматематические исследования ограничиваются дискуссиями о формализованных дедуктивных дисциплинах. Короче говоря, метаматематика не должна считаться единой теорией. С целью исследования каждой дедуктивной теории может быть построена специальная метадисциплина. Однако эта стадия имеет более общий характер: целью в ней является уточнение ряда важных метаматематических понятий, которые общи отдельным метадисциплинам, и определение основных свойств этих понятий. Одним из результатов этого исследования является то, что некоторые понятия, которые могут быть определены с помощью отдельных метадисциплин, здесь будут рассмотрены как первичные понятия и охарактеризованы последовательностью аксиом." ([1930], S.60) В этом высказывании важным является стремление использовать точные методы в методологии, применение которых диктуется самим предметом - дедуктивными дисциплинами. В этом смысле намерения Тарского совпадали со стремлением Гильберта, однако в вопросе точности методов имеются и расхождения. Метаматематика развивалась Гильбертом в связи с доказательствами непротиворечивости, тогда как в варшавской школе метаматематические исследования не определялись достижением каких-либо конкретных целей, а состояли в уточнении главным образом семантических понятий. Кроме того, и это особенно важно подчеркнуть, Гильберт в метаматематических исследованиях допускал использование только финитных методов, составляющих ядро его программы формализма, тогда как "методология дедуктивных наук" понималась в Варшаве независимо от той или иной философии математики и была направлена на формализацию отдельных семантических понятий с единственной, пожалуй, целью - освободиться от парадоксов, антиномий и прочих химер, препятствующих введению точных методов в методологию вообще, и дедуктивных наук в частности.

Обращаясь к творчеству Тарского как одного из создателей матаматематики нельзя не подчеркнуть роль Лесьневского, установок которого в методе его ученик придерживался неукоснительно, что вовсе не означает приверженности Тарского, например, к концепции радикального номинализма, которую он перестал разделять именно в процессе развития методологии дедуктивных наук. Основным методом, оказавшимся достаточно универсальным, а тем самым пригодным для построения метаматематики было определение. Определения послужили инструментом Тарскому и при написании одной из его первых работ - "О первичном выражении логистики" [1923] (докторская диссертация), они же явились высшей и конечной целью его метаматематических исследований, как например, определение понятия истинного предложения. В диссертации еще невозможно найти разделение уровней языка, а комментарии к утверждениям заменяют собой по сути их доказательство, но шаг за пределы логической системы, названный позже методологическим, сделан. Во вступлении к докторским тезисам Тарский пишет: "Я не провожу свои рассуждения на основе какой-то определенной системы логистики" (S.68). Но не смотря на эту оговорку "логическую теорию типов" Лесьневского он считает безупречной возможно потому, что ее развитие происходит путем определений, ведь именно их Тарский выбирает в качестве средства решения поставленной задачи: "Можно ли построить логическую систему, принимая знак эквивалентности как единственное первичное выражение (очевидно, кроме квантификаторов)".(S.68-69) Совершенно очевидно, что это вопрос метатеоретического исследования Прототетики Лесьневского, однако сформулированный уже безотносительно к самой системе, которая служит источником инспираций при введении прочих логических понятий, в том числе констант "истина" и "ложь", отсутствующих у Лесьневского. (Роль константы "истина" у Лесьневского косвенно представляли предложения Онтологии). Следует особенно подчеркнуть, что Тарский не прибегает к какому-либо отдельному знаку "по определению" для введения необходимых ему констант, но, как Лесьневский, использует эквивалентность. Основное утверждение его работы составляет предложение, определяющее конъюнкцию, тогда как все прочие логические знаки вводятся на основании этого знака и принятых дефиниций. В символике Рассела и Уайтхеда знак конъюнкции вводится следующей формулой:

[p,q]::p×q º\[f] \p º: [r].p º f(r). º.[r].q º f(r),

где f - функция истинности ("truth-function"). Определение прочих логических понятий дается выражениями, среди которых символы Vr и Fl означают истинностные оценки "истина" и "ложь" соответственно:

Vr º.[p].p º p,

Fl º.[p] p,

[p]:ù (p) º. p º Fl,

[p,q] \ p É q. º: p º. p× q,

[p,q]: pÚ q. º. ù (p) É q.

Дальнейшее изложение посвящено изучению свойств истинностнозначных функций, аргументами которых являются предложения, в частности функций подстановки. В связи с этим вопросом Тарский замечает, что "Лесьневский сконструировал некоторый общий метод, который позволяет элиминировать из языка функции, не являющиеся истинностнозначными функциями", однако в примечании добавляет, что этот результат не опубликован.(S.75)

Метаматематические результаты 20-х годов Тарский изложил в двух работах {1930],[1930a], составивших начальный этап этой новой дисциплины. Существенным достижением в этих исследованиях было формулирование теории присоединения следствий в аксиоматической форме.

Пусть X, Y, S, Cn(X), nx, cxy означают соответственно множества предложений X и Y, множество всех предложений S некоторого языка (X и Y суть подмножества множества S), множество логических следствий множества X, отрицание предложения x и импликацию с антецедентом x и консеквентом y. В этих обозначениях аксиомы логической теории присоединения следствий таковы: (1) S £ À_o, (2) XÍ Cn(X), (3) Cn(Cn(X))=Cn(X), (4) Cn(X)=$YCn(Y), где Y является конечным подмножеством множества X, (5) $xCn(x) = S, (6) если x и y принадлежат S, то nx и cxy также принадлежат S, (7) если cxy Î Cn(X), то y Î Cn(X)+{x}, (8) если y Î Cn(X)+{x}, то cxy Î Cn(X), (9) Cn{x,nx}=S, (10) Cn{x}× Cn{nx}=Cn0.