Неадекватная символизация Адекватная символизация 9 страница

Логики варшавской школы строили также аксиоматики с использованием большего числа первичных терминов. В работе Вайсберга [1937] приведена, например, следующая аксиоматика: CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CKpqp, CKpqq, CCpqCCprCpKqr, CpApq, CqAqp, CCprCCqrCApqr, CEpqCpq, CEpqCqp, CCpqCCqpEpq, CNpCpq, CCpNpNp с правилами подстановки и отделения. Тарский [1938] приводит схемы аксиом (в связи с чем ему достаточно правила отделения) с метапеременными следующего вида: CxCyx, CCxCyzCCxzCyz, CxAxy, CyAxy, CCxzCCyzCAxyz, CKxyx, CKxyy, CCzxCCzyCzKxy, CCNxxx, CCxNxNx.

В школе исследовались также и частичные исчисления высказываний. Частичным называется исчисление, основанное только на некоторых функторах, которых недостаточно для определения всех постоянных первичных терминов исчисления. Так в 1921 г. Тарский опубликовал аксиоматику для импликативного исчисления высказываний: CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCCpqrCCprr с правилами подстановки и отделения (Лукасевич, Тарский [1930]). Ряд аксиоматик этого вида принадлежит Вайсбергу.

Изучалась возможность построения импликативного исчисления на одной аксиоме.^[194] Вайсберг (1926) обнародовал 25-и буквенную аксиому (органическую): CCCpqCCrstCCuCCrstCCpuCst, а Лукасевич (1926) привел также 25-и буквенную аксиому, но не органическую: CCCpCqpCCCCCrstuCCsuCruvv. Дальнейшие результаты получил Лукасевич, который сформулировал (1930) органичную 17-и буквенную аксиому CCCpqCrsCtCCspCrp, а затем (1936) - 13-и буквенную, также органичную аксиому: CCCpqrCCrpCsp. Вопрос был окончательно решен, когда Лукасевич [1948] опубликовал доказательство того, что аксиома из 13-и литер является кратчайшей.

Первую аксиоматику, использующую эквивалентность в качестве единственного постоянного термина, привел Лесьневский [1929]: EEEprEqpErq, EEpEqrEEpqr + правила подстановки и отделения. После появления ряда аксиоматик, полученных Вайсбергом, Бриманом, Лукасевичем и Собоцинским Лукасевич [1938] доказывает, что формула, содержащая менее 10 литер не может быть единственной аксиомой исчисления, построенного исключительно на функторе эквивалентности.

§ 4. Пропозициональное исчисление с переменными функторами.

Весьма интересным и редко обсуждаемом случаем логической теории является исчисление предложений с переменными функторами. Его появление в определенной степени связано с точкой зрения Лукасевича на определения. Выше упоминалось, что Лукасевич понимал дефиниции как метаязыковые сокращения. Отличную от этой позицию в школе занимал Лесьневский, который трактовал дефиниции как предложения системы. Сравнение этих двух точек зрения побудило Лукасевича к изучению исчисления предложений с переменными функторами, введенными впервые в Прототетике Лесьневского. Первый раз этим вопросом Лукасевич занялся в статье об исчислении предложений эквивалентности [1939]. Лукасевич замечает, что выражение Vp (verum от p) как одноаргументный функтор от пропозициональной переменной может быть введен двояко:

D₁ Vp =df Epp

D₂ EVpEpp

Отличия D₁ и D₂ состоят в том, что D₁ записано в метаязыке, а D₂ является предложением исчисления, но кроме того эти определения "методологически разные" и, как замечает Лукасевич, не находя лучшего выражения, D₂ "действует "творчески"". Различия определений D₁ и D₂ демонстрируются на примере выражения

(I) EEsEppEEsEppEEpqEErqEpr,

которое является выводимой формулой исчисления эквивалентностей. Особенность этой формулы состоит в том, что все ее заключения можно получить исключительно путем подстановки, но не отделением. Тот факт, что формула (I) "неделима" Лукасевич показывает методом, восходящим к Тарскому.^[195]

А именно, если из (I) мы хотим получить новую формулу путем отделения, то должны предположить, что существуют две подстановки в (I), одна из которых имеет тип Exy, а вторая - x (все переменные принадлежат метаязыку, т.е. являются переменными, значениями которых суть произвольные выражения языка исчисления эквивалентностей). Эти семиотические условия записываются следующим образом:

(a) Exy:=: EEaEbbEEcEddEEdeEEfeEeg

(b) x:=: EEhEiiEEhEiiEEijEEkjEik

(символ:=: означает здесь эквиморфность).

В (а) литере x соответствует выражение EaEbb, т.е.

(c) x:=: EaEbb,

тогда как из (b) и (c) получаем, что

(d) EaEbb:=: EEhEiiEEhEiiEEijEEkjEik.

Отсюда вытекает, что следующие выражения эквиморфны:

(е) a:=: EhEii

(f) b:=: EhEii

(g) b:=: EEijEEkjEik.

Из (f) и (g) получаем:

(h) h:=: Eij

(i) i:=: Ekj

(j) i:=: Eik.

Последнее выражение абсурдно, поскольку невозможно, чтобы "i" было эквиморфно некоторому выражению, содержащему "i" как свою собственную часть. Отсюда следует, что невозможно получить две подстановки формулы (I), которые были бы подстановками типа Exy и x. Таким образом, к выражению (I) не может быть применено правило отделения. Отсюда непосредственно следует, что из (I) нельзя вывести никакой более короткой формулы, в частности EEpqEErqEpr, которая была бы аксиомой исчисления высказываний.

Однако ситуация измениться, если принять D₂. Достаточно в (I) вместо переменной s подставить выражение Vp, чтобы после двукратного применения правила отделения получить аксиому EEpqEErqEpr. Следовательно, дефиниция D₂ креативна. Такое решение не удовлетворяет Лукасевича, поскольку D₂ вводит в систему выражение, не являющееся первичным, а потому и не характеризуемое аксиомами. Лукасевич [1939] заключает: "Ни в коем случае мы не должны придавать новые свойства первичным терминам системы. Первичные термины должны быть охарактеризованы исключительно аксиомами. Если мы занимаем такую позицию, то следовало бы по возможности избегать творческих определений" (S.249).

К этой проблематике Лукасевич вернулся в работе "О переменных функторах от пропозициональных аргументов"(1951). Рассматривая формулу Прототетики Лесьневского

(1) CfpCfNpfq

он задается вопросом про область значений пропозициональной переменной, отмечая, что вместо переменной можно подставлять любое правильно построенное выражение, а также константы 0 и 1. Этот вопрос Лукасевич распространяет и на функторы, спрашивая: "Какова область значений функторной переменной f?" Он полагает, что вместо переменной f в выражении fx, где x является каким-то правильно построенным предложением, можно подставить каждое значение, которое с выражением x образует правильно "построенное целое". Таковым может быть одноаргументный функтор N, или же выражение Cr, а также выражение CC00. Подставляя в (1) вместо f выражение Cr получим формулу CCrpCCrNpCrq, а подставляя выражение CC00 - формулу CCC00pCCC00NpCC00q. Однако этот тип подстановки не охватывает все возможные случаи, поскольку из (1) невозможно получить ни CpCNpq, ибо при помощи подстановки невозможно устранить функторы, ни CCprCCNprCqr, т.к. никакая подстановка вместо f в выражениях fp либо fq не может переставить конечные p либо q со своего места. Эту трудность Лесьневский устраняет при помощи дефиниции, полагая, что Grp означает то же, что Crp. Подставляя в (1) Gr вместо f получим CGrpCGrNpGrq, а затем при помощи дефиниции - CCprCCNprCqr.

Предложенный Лесьневским способ Лукасевич считает искусственным и трудным. По мнению Лукасевича, он нашел новый тип подстановки, в котором символ fx, где x является пропозициональным выражением, представляет все правильно построенные выражения исчисления высказываний, содержащие x. Например, fp представляет Crp так же, как и Cpr, т.е. попросту представляет все пропозициональные выражения, содержащие p, включая само p, а также fp. С учетом такого представления Лукасевич считает необходимым ввести новое правило подстановки. Смысл правила подстановки с апострофом он поясняет на примере. Допустим, мы хотим из (1) получить формулу CCprCCNprCqr. Необходимую подстановку обозначим через f/C’. Это значит, что в (1) вместо f следует подставить выражение, начинающееся с C, кончающееся переменной r, а вместо апострофа везде вставить аргумент функтора f. Тогда fp переходит в Cpr, CfNp - в CCNpr, fq - в Cqr, а (1) - в искомую формулу CCprCCNprCqr. Теперь предположим, что из (1) мы хотим получить CpCNpq. С этой целью используем подстановку, обозначаемую сокращением f/’, которая означает, что вместо f следует вписать переменную p, т.е. попросту миновать f.

Подстановка с апострофом имеет важные последствия при использовании дефиниций в дедуктивных системах. Лукасевич считает, что концепция определений, как сокращений, так и эквивалентности имеет свои преимущества и недостатки. Преимуществом первой концепции является возможность непосредственной замены, а недостатком - увеличение числа первичных символов знаком равенства по определению. В свою очередь, преимуществом второй концепции является возможность записи дефиниции в языке системы, а недостатком - отсутствие непосредственной замены сторон дефинитивной эквивалентности. Лукасевич предлагает новый подход к определению, который должен соединить достоинства упомянутых решений и одновременно избегнуть их недостатков. Лукасевич рассматривает формулу Прототетики Лесьневского

(2) CEpqCfpfq.

Эта формула выражает тезис экстенсиональности, который в свободной формулировке говорит, что, если p и q эквивалентны, то сказанное о p относится также и к q. Обозначим через x и y два пропозициональных выражения, одно из которых, безразлично какое, является в определении дефиниенсом, а другое - дефиниендумом, причем каждое из них не содержит f. Полагая дефиницию истинной, принимаем формулу

(3) Exy.

Из (2) и (3) получаем

(4) Cfxfy.

Воспользовавшись законом тождества Epp подставим x вместо переменной p, а к (4) применим подстановку с апострофом f/Ex’. Получим Exx и CExxExy, а после отделения - Exy. Таким образом, оказывается, что (3) равносильно (4), и поскольку (3) выше принималось в качестве дефиниции, то с таким же успехом (4) можно считать схемой дефиниции. Основным достоинством такого представления дефиниции является возможность ее записи при помощи знака импликации, а тем самым - наиболее естественного функтора исчисления высказываний. Действие (4) как схемы дефиниций поясняет пример определения отрицания в пропозициональном исчислении, основанном на импликации и константе "ложь"(0). Используя (4) запишем это определение в виде

(5) CfNpfCp0.

Дальнейшие шаги представляет следующий вывод:

(6) СfpCfNpfq (предложение Прототетики)

(5) f/CfpCf ’fq * C(6)-(7)

(7) CfpCfCp0fq.

Таким образом, Np (дефиниендум в (5)) оказалось замененным Cp0 (дефиниенс в (5)). Обратная замена требует доказательства импликации, обратной к (5), т.е. импликации CfCpf0Np. Ее доказательство имеет вид

(4) Cfxfy (схема дефиниции)

(4) f/Cf'fx * (8)

(8) CCfxfxCfyfx

(4) f/CCfxf'Cfyfx * (9)

(9) CCCfxfxCfyfxCCfxfyCfyfx

(9) * C(8)-(4)-(10)

(10) Cfyfx

Итак, в (4) как посылка, так и заключение могут выполнять роль дефиниенса и дефиниендума. Приведенное доказательство показывает насколько логически сильным оказывается правило подстановки с апострофом, что позволяет по-новому посмотреть на определения в логических системах. ^[196] Вместе с тем оказывается, что роль переменных функторов от пропозициональных аргументов шире, нежели вопросы теории определений. В частности, иначе открывается перспектива аксиоматизации исчисления высказываний. В пропозициональном исчислении с переменными функторами доказуема формула

(11) Cf0CfC00fp,

которая может быть прочитана следующим образом: если что-либо истинно о тождественно ложном предложении, и то же истинно для тождественно истинного предложения, то это же верно и для любого предложения. Поэтому Лукасевич (11) трактует как принцип двузначности, поскольку это предложение говорит, что существуют предложения истинные или ложные и только такие предложения. Вместе с тем Лукасевич высказывает мнение, что из (11) следуют аксиомы импликативно-негативного исчисления высказываний; именно эту роль и выполняет формула CfC00Cf0fp. Ученик Лукасевича, Мередит, показал, что все законы обычного исчисления высказываний, а также законы исчисления высказываний с кванторами и переменными функторами содержатся в 6-и буквенной формуле Cff0fp [1951]; эта формула по свидетельству Собоцинского была известна Лукасевичу. В этой связи Лукасевич писал следующее: "Вывод из этой формулы всего исчисления высказываний при помощи правила подстановки, правила отделения и правил для кванторов следует признать шедевром дедуктивного искусства".^[197]

§ 5. Натуральный вывод Ст. Яськовского.

В 1926 г. Лукасевич поставил проблему, истоки которой можно заметить в рассмотренной выше работе "О науке". А именно, в математических доказательствах не используются логические формулы, но в них обращаются к предпосылкам и правилам рассуждений. Можно ли эти методы доказательства отобразить в системе структурных правил и исследовать их отношение к утверждениям аксиоматического исчисления высказываний? В 1927 г. Яськовский ответил на этот вопрос; результаты изложены в работе "О правилах допущений в формальной логике[1934].

Вначале Яськовский приводит примеры, с помощью которых выясняет интуитивный смысл метода допущений. Если мы хотим убедиться в истинности формулы CpCCpqq, то можно это сделать следующим образом:

1. Допустим p.

2. Допустим Cpq.

3. Из 1 и 2 следует q.

4. С учетом того, что q есть следствие допущения Cpq получим импликацию Cpqq.

5. С учетом допущения p получаем выражение CpCpqq.

Приведенный неформальный вывод кодируется следующим образом:

1.Sp

1.1.SCpq

1.1.q

1.CCpqq

CpCCpqq

Символ S является сокращением для оборота "допускается". Каждое допущение предваряет цифровой префикс. Префикс, составленный из одной цифры и точки означает главное допущение в данном выводе, а префикс, составленный из большего числа цифр и точек, означает дальнейшие допущения. Если последующее допущение обозначено префиксом, начальный сегмент которого идентичен с префиксом некоторого уже записанного в данном выводе допущения, то это значит, что мы имеем дело с допущением, охватываемом предыдущим допущением, например, SCpq находится, если можно так выразиться, в области допущения Sp. Если строка вывода предваряется цифровым префиксом, после которого знак S не записывается, то тогда выражение, стоящее непосредственно после префикса, является следствием допущения, имеющего тот же префикс, например, q является следствием SCpq.

Яськовский представляет систему натуральной дедукции в виде последовательности выражений, каждое из которых он считает принадлежащим исчислению. В частности, предполагается, что истинными формулами системы являются допущения и их следствия. Столь широкое понимание истинной формулы, конечно, не противоречит ее пониманию в узком смысле как формулы доказуемой.

Описание системы начинается приведенным выше примером и Яськовский предполагает, что к моменту написания первого допущения никакие прочие формулы не существуют. Если какая-либо формула T имеет номер n, то все формулы, имеющие в начальном сегменте номер n, принадлежат (вместе с T) к области T; в приведенном примере к области формулы q принадлежат выражения Sp, SCpq и само q. Под абсолютной областью Яськовский понимает множество всех записанных формул системы, а сама абсолютная область увеличивается одновременно с развитием всей системы. К моменту написания первой формулы абсолютная область представляет собой пустое множество. Эти свойства пополнения формальной системы свидетельствуют о влиянии Лесьневского. В 1926 г. на семинаре Лукасевича понятие области Яськовский эксплицировал следующим образом:

p

Cpq

p

q

CCpqq

CpCCpqq

Однако префиксная нотация областей допущений в качестве их имен противоречит взглядам Лесьневского. В этой связи Яськовский замечает: "Можно понимать область как класс выражений в согласии со взглядами Лесьневского на класс как материальный объект, но в этом случае толкование сегментов будет модифицировано и формулировка правил тем самым значительно усложниться". ([1934], S.9)

Правила построения системы Яськовского следующие:

(R1) К каждой области формул D можно добавить выражения, состоящие из (a) префикса, который отличен от начального сегмента префикса произвольного элемента D, (b) точки, (c) символа S, (d) предложения.

(RII) Если в области D допущения x истинным является предложение y, то к области, в которой D является подобластью, можно добавить предложение Cxy. Из двух областей D и D`, где D - область допущения x, а D` - абсолютная область или область допущения x`, префикс которой идентичен с начальным сегментом префикса допущения x, D является подобластью D` и D есть непосредственная подобласть D` тогда и только тогда, когда D не является подобластью никакой подобласти D`.

(RIII) Если в данной области D истинны предложения Cxy и x, то допустимо к D добавить y; это правило, конечно, является правилом modus ponens для естественного вывода.

(RIV) Если в области D допущения Nx истинны предложения y и Ny, то к области, относительно которой D является подобластью, можно добавить предложение x.

Используя приведенные правила Яськовский конструирует систему, содержащую 59 предложений "теории дедукции" (в выводе обозначаемых td); ниже приводятся первые двадцать из них (с правой стороны даны номера предложений и правил, используемых в выводе данного предложения:

td1 1.Sp I

td2 1.1.SCpq I

td3 1.1.q III,2,1

td4 1.CCpqq II,2,3

td5 CpCCpqq II,1,4

td6 2.SCNpNq I

td7 2.1.Sq I

td8 2.1.1.SNp I

td9 2.1.1.Nq III,6,8

td10 2.1.p IV,8,7,9

td11 2.Cqp II,7,10

td12 CCNpNqCqp II,6,11

td13 1.2.Sq I

td14 1.Cqp II,13,1

td15 CpCqp II,1,14

td16 1.3.SNp I

td17 1.3.1.SNq I

td18 1.3.q IV,17,1,16

td19 1.CNpq II,16,18

td20 CpCNpq II,1,19

Таким образом, система вывода Яськовского строится на допущениях и правилах вывода, но ее отличие от генценовской системы помимо кодификационных особенностей, определяемых, вероятно, бесскобочной записью, состоит и в том, что она сохраняет подобласти абсолютной области (означаемой по мере построения формулами без префиксов) и тем самым содержит также правила построения всей системы. Итак, утверждения логики в системе Яськовского не предваряют цифровые префиксы. Он формулирует метатеорему, утверждающую эквивалентность аксиоматической системы Лукасевича и системы, построенной на допущениях. "Доказательство" этого утверждения является в сущности лишь абрисом проблемы и покоится на понятии построения предложения, центральное значение которого передается термином "эквиморфный" (equiform).

Несомненно, конструкция Яськовского принадлежит к наиболее выдающимся достижениям, полученным не только семинаре Лукасевича, но и во Львовско-варшавской школе. Если учесть, что первые результаты датируются 1926 г., то система польского логика является первой системой естественного вывода в логической практике.

§ 6. Метаматематические исследования логики.

Обзор развития логических исследований в школе (классического пропозиционального исчисления; неклассическим логикам будет посвящен отдельный параграф) закончим кратким абрисом, в центре которого находится работа Лукасевича и Тарского[1930] "Исследования исчисления предложений", называемой авторами в тексте также и "сообщением". Цель этого сообщения состояла в подытоживании фактов, "касающихся [...] "метаматематики", или - лучше - "металогики"".

Первые результаты из области металогики относятся к 1924 г. В сообщении Лукасевича [1925] (еще без доказательства) утверждается, что аксиомы исчисления высказываний в Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда, а также аксиомы, приведенные Гильбертом, как и аксиомы самого Лукасевича, изложенные выше, не являются независимыми. В частности, Лукасевич показал, что аксиому CApAqrAqApr можно вывести из аксиом CAppp, CqApq, CApqAqp и CCqrCApqApr (Principia), а аксиому CCpCpqCpq - из аксиом CpCqp, CCpCqrCqCpr, CCqrCCpqCpr, CpCNpq, CCpqCCNpqq (Гильберт).^[198] Позже Лукасевич [1929],[1934] показал, что и аксиомы Фреге также не являются независимыми. Систематическое изложение результатов дано в курсе лекций Лукасевича [1929]. Годом позже в сообщении Лукасевича и Тарского "Исследования исчисления высказываний" [1930] подведены итоги работы семинара, в котором, начиная с 1926 г. получили результаты авторы статьи, а также Вайсберг, Собоцинский и Линденбаум.

Для доказательства независимости аксиом исчисления высказываний Лукасевич применил многозначную матрицу, идея которой принадлежит Тарскому. Этот метод очевидным образом соотносится с развернувшимися в Варшаве исследованиями многозначных логик, приведших к созданию логических матриц, отличных от двузначных.^[199] Лукасевич [1929] и Вайсберг [1937] разработали также оригинальные методы доказательства полноты исчисления высказываний в смысле Поста.

Остановимся подробнее на неоднократно упоминаемом "сообщении" Лукасевича и Тарского, центральным понятием которого является множество S всех предложений данного исчисления высказываний и понятие логической матрицы. Множество S определяется как пересечение всех множеств, содержащих пропозициональные переменные и замкнутое относительно операций образования составных предложений. В случае импликативно-негативного исчисления - это операции импликации и отрицания. Если X содержится в S, то Cn(X) - это множество следствий множества X, являющееся пересечением всех множеств, содержащих X и замкнутых относительно правил, определяющих операции в Cn; в случае исчисления высказываний это правила операций подстановки и отделения. В этой конструкции впервые для определения металогических понятий (множества предложений, следствия) использована конструкция наименьшего множества, замкнутого относительно определенных в нем операций.

Другим важным понятием сообщения является понятие логической матрицы, определяемое как упорядоченная четверка M =<A,B,f.g>, где A и B - дизъюнктные множества произвольных элементов, f -двух-, а g - одноаргументные функции, определенные для всех элементов множества A+B и принимающие значения из него. M является нормальной матрицей, если из того, что xÎB и yÎA следует, что f(x,y) ÎA. Функция h называется функцией оценки матрицы M, если выполняются следующие условия:

1) функция h определена для каждого xÎS;

2) если x есть пропозициональная переменная, то h(x)ÎA+B;

3) если x,yÎS, то h(c(x,y))=f(h(x),h(y));

4) если xÎS, то h(n(x))=g(h(x). Предложение x удовлетворяет матрице M, если для каждого значения функции h этой матрицы имеет место h(x)ÎB, а элементы множества B называются выделенными.

Рассмотрим матрицу M =<{0},{1},f,g>, где функции f и g определены следующим образом: f(x,y)=1, когда x=0, y=1, или x=1, y=1, или x=0, y=0 и f(x,y)=0, когда x=1, y=0, а g(x)=1, когда x=0, g(x)=0, когда x=1. Множества {0} и {1} дизьюнктны, а 1 является выделенным значением. Функции f и g определены на истинностных значениях. Легко видеть, что существует функция оценки h, согласованная с таблицами истинности для импликации и отрицания; символы c и n при определении функции h являются метаязыковыми именами C и N. Матрица M, очевидно, является нормальной матрицей. Таким образом, установлено соответствие между алгеброй истинностных оценок и алгеброй предложений. Более того, поскольку элементы множества A и B могут быть произвольной природы, то Линденбаум предложил таковыми считать предложения и матрица в этом случае становится алгеброй Линденбаума. Очевидно, что произвольное предложение исчисления высказываний удовлетворяет матрице, т.е. такое предложение оценивается как истинное. Тем самым можно отождествить множество истинностных предложений с предложениями, выполняемыми на матрице. Обозначим это множество E(M).

Далее, в сообщении приводится два важных утверждения, устанавливающие зависимость между предложениями исчисления и содержанием матрицы. Утверждение 1. Если M является нормальной матрицей, то E(M) - дедуктивная система, т.е. система, содержащая свои следствия. Утверждение 2. Если X - дедуктивная система, то существует нормальная матрица M, для которой множество A+B конечно, перечислимо и выполняется соотношение E(M)=X. Эти утверждения, особенно второе, оказались весьма важными, ибо матрица попросту определяет негативно-импликативное исчисление высказываний, а из этой дефиниции легко можно показать, что исчисление высказываний непротиворечиво и полно.

Дальнейшее обсуждение сообщения Лукасевича и Тарского будет продолжено в следующем параграфе, т.к. касается логик неклассических. Здесь же, в завершение, упомянем интересные металогические результаты действительно демонстрирующие реализацию лозунга "логика для логики". Так Собоцинский показал, что исчисление высказываний, содержащее формулы CpCqp и CpCqCCpCqrr, для каждого натурального n обладает аксиоматическим базисом, насчитывающим в точности n элементов, а Тарский обобщил это утверждение для произвольного пропозиционального исчисления. Вайсбергом доказано следующее утверждение: в исчислении высказываний (функционально полном или частичном), содержащим формулу CpCqCrp, аксиомы содержат как минимум три различные пропозициональные переменные. Несколько отступающим от лозунга школы является следующая находка Тарского, позволяющая определить функтор отрицания при помощи универсального квантора (Np=CpПp). Этот результат послужил основанием для конструкции расширенного исчисления высказываний (Лукасевич, Тарский [1930]).

Глава 2. Ян ЛукасевиЧ и неклассиЧеские логики.

§ 1. Многозначные логики

Хорошо известно, неклассическая логика - это необязательно логика двух истинностных значений - истины и лжи; неклассичность определяется семантикой логических связок, или, если последнее понятие понимать шире - семантикой логических операторов. Внешним выражением сказанного как раз и является бесскобочная запись. По этой причине в настоящем параграфе будут обсуждены логические исчисления, относящиеся к неклассическим также и традиционно: многозначные логики, модальные логики, интуиционистское исчисление высказываний, а также упомянута дискуссионная логика Яськовского. Появление этих систем во Львовско-варшавской школе также неотделимо от имени Лукасевича. Ранее уже высказывалась мнение, обозначившее роль философа Лукасевича в логике и сводившееся к тому, что он был в логике метафизиком. В этой связи была затронута работа "Об индукции как инверсии дедукции", которая вместе с другими ранними работами при рассмотрении истоков многозначной логики, как правило, не учитывалась. Обычно считается, что первое упоминание о многозначной логике было сделано Лукасевичем 7 марта 1918 г. в прощальной лекции перед уходом на работу в Министерство вероисповеданий и публичного просвещения^[200]. У этого сообщения имеется предыстория, отражающая эволюцию философа Лукасевича в направлении к логике, начало которой было положено рядом работ, сформировавших парадигму философии предложения этого исследователя. В кратком обзоре генезиса взглядов "раннего" Лукасевича мы коснемся некоторых из них.

Существовала да и существует до сих пор тенденция связывать индукцию с вероятностным подходом или, как его называли ранее, особенно логики, с правдоподобием. Вначале Лукасевич был сторонником т.н. инверсной теории дедукции, согласно которой индукция является рассуждением, в котором отыскивается логическое основание для единичных предложений опыта. Связь индуктивных и дедуктивных рассуждений он обобщил, следуя Твардовскому, в понятии рассуждения как процесса. Лукасевич [1912],[1915] различает основание и следствие, которые не соответствуют паре посылка-заключение, и в связи с этим вводит направление рассуждения. Если посылка является основанием, а заключение - следствием, то речь идет о дедуктивном рассуждении, а если посылка есть следствие, а заключение - основание, то речь идет о рассуждении-редукции, или говоря иначе, дедукция является нахождением следствия по данному основанию, а редукция - основания для данного следствия. Дедукция является надежным, безошибочным рассуждением, тогда как редукция - всего лишь правдоподобным. Но в [1909] Лукасевич, анализируя формулу Лапласа p=n+1/n+2, по которой определяется правдоподобие того, что n+1 событие обладает свойством, которое проявилось в n событиях, формулирует аргумент, ставивший под сомнение осмысленность приписывания индуктивным заключениям меры правдоподобия. Формула Лапласа касается единичного события, тогда как в индуктивном заключении речь идет о правдоподобии генерализации. Можно воспользоваться т.н. обобщенной формулой Лапласа p=n+1/n+m+1, где m - это число событий, охваченных генерализацией, а n - базис индукции (число наблюдаемых событий). Поскольку m много больше n, то p не может быть больше 1/2, а если m стремится к бесконечности, то p - к нулю.^[201] Поэтому Лукасевич в работе "Логические основания исчисления правдоподобия"[1913] старается выяснить, почему понятие правдоподобия не относится к предложениям (суждениям). Он считает, что меру правдоподобия можно приписывать пропозициональным функциям в виде отношения числа аргументов, для которых она истинна, к конечному числу всех значений переменной. Предложения, т.е. формулы без свободных переменных бывают или истинными, или ложными и понятие правдоподобия к ним не относится вообще.