Неадекватная символизация Адекватная символизация 3 страница

Таким образом, речь в Онтологии идет именно об обосновании предложения "А есть а", а не о предложении вида "B есть а", "B есть А", "а есть b", хотя все последние нотации (за исключением "а есть А" или подобной) можно встретить на страницах произведений Лесьневского. Все приводимые неформально следствия из предложений 1)-6) в работе [1931] очерчивают в сущности условия, которым должна удовлетворять инскрипция "А" в номинальном суждении, где она, занимая место подлежащего, упоминается, а не употребляется. Наиболее полно развернутым пояснением предложения 6) является следующее следствие из 1)-6): "А есть а тогда и только тогда, когда ((при некотором B - (B есть А)), при всех B и C -, если B есть А, а также C есть А, то B есть C) и при всяком B -, если B есть А, то B есть а)". Символическим воплощением этого предложения является аксиома Онтологии, при прочтении которой следует помнить, что квантор существования у Лесьневского не следует читать "существует [предмет] B"; приводя эту единственную аксиому в работе "Об основаниях Онтологии" Лесьневский ее формулирует при помощи универсального квантора, снабжая ссылкой, в которой говорится, что "частичный" квантор в его системе не имеет места, а выражение "($ B).Î{BA}" служит сокращением для "ù ((B). ù (Î{BA}))". Это замечание совместно с условиями, накладываемыми на подлежащее "единичного предложения", как кажется, свидетельствует о том, что автор Онтологии имеет в виду прежде всего само обозначение для подлежащего, а не предмет, им обозначаемый. Первоначально в нотации Пеано-Рассела аксиома Онтологии выглядела так:

((A,a)::AÎa.º\($B).BÎA\(B,C):BÎA.CÎA.É.BÎC\(B):BÎA. ÉBÎa.

Обычно правая часть этого тождества читается без учета номиналистических воззрений Лесьневского даже специалистами, знающими Онтологию "не из вторых рук". Как правило ее расшифровывают следующим образом: "А не пусто, А единственно и что-либо есть А, есть также и а".^[153] То, что правила квантификации совпадают со стандартными, вовсе не означает будто в Онтологии Лесьневского такое же истолкование переменных. Как правило, в системах Лесьневского отвергается референциальная трактовка переменных в пользу подстановочной.^[154] Трудность с осмыслением подстановочных переменных в системах Лесьневского возникает потому, что этот тип переменных совершенно четко можно представить только при сознательном разделении языка на язык-объект и метаязык. Лесьневский такого разделения не проводил, хотя вполне и осознавал метаязык как "язык комментариев". Инверсный характер его "единичного предложения" требовал единственно запаса имен для потенциальных выражений и аксиома Онтологии формулирует условия для имен (метаязыка). Радикальный номинализм смешал выражения и их имена так, что стала возможной подстановочная квантификация.^[155]

Связка "есть", выражая процесс переименования, может быть прочитана как "есть имя", а предложение "А есть а" соответствующим образом как <"A" есть имя a. >. Последнее выражение двузначно, а именно - синтаксически и семантически в том смысле, что "А" есть имя "а" и "А" есть имя предмета, обозначенного а. Обе эти трактовки не противоречат друг другу и первая является синтаксическим эквивалентом второй. Легко видеть, что синтаксическая трактовка значима тогда, когда значима семантическая, т.е. "а" является именем предмета, что записывается как а.. Онтология же Лесьневского претендует на абсолютное воплощение процесса существования посредством процесса (де)номинации; однако переименование оказалось процессом бесконечным. Неприятная ситуация, связанная с тем обстоятельством, что у одного предмета может оказаться два имени - "А" и "а", в действительности не имеет места, ибо "А" упоминается" а если оно и занимает в "единичном предложении" позицию сказуемого, т.е. начинает употребляться, то радикальный номинализм рассматривает "А" как экземпляр обозначения, отличного от ранее встречавшегося.

Непосредственного подтверждения приведенной трактовки связки "есть" в работах Лесьневского найти не удалось; косвенные свидетельства можно найти в цитатах Т.Котарбинского, приводимых Лесьневским, с которыми он, очевидно, согласен. Значение связки "есть" в Онтологии Котарбинский называет "основным", "первичным", "как в предложении "Уран есть планета". Здесь слово "есть" - продолжает Котарбинский - функционирует в элементарной роли, в роли вневременного союза между неким единичным именем с левой стороны и другим именем с правой стороны. [...] Иногда мы встречаем иное, вторичное употребление обсуждаемой структуры, например, в предложении "Кит есть млекопитающее". Здесь [...] с левой стороны необязательно выступает единичное имя ("кит" является общим именем), а целое функционирует в роли заменяющего сокращения для иного предложения, имеющего условное строение. В настоящем случае оно звучало бы: "Что-либо есть кит, есть и млекопитающее". ([1931],S.166) Навряд ли можно согласится с Котарбинским в пояснении "единичного предложения" при помощи "условного строения" его структуры, но то, что антецедент условного предложения эксплицирует "заменяющее сокращение", каковым оказывается подлежащее (а не вся структура) единичного предложения, то это верно в том смысле, что "кит" есть имя выражения "что-либо есть кит", как и имени "млекопитающее". Таким образом, "заменяющее сокращение" косвенно подтверждает номинативную роль подлежащего, реализуемую связкой "есть". Во всяком случае следует подчеркнуть, что связка "есть" не содержит никаких пространственно-временных коннотаций.

По поводу обоснования названия обсуждаемой теории, приведем обширную цитату Т.Котарбинского, которую Лесьневский "полный гордости" помещает в своей работе: "Это название также и в том имеет обоснование, что единственным присущим первичным термином в принятой аксиоматике этой системы является термин "est", т.е. "есть", что соответствует греческому " esti ". Итак, желая это подчеркнуть, можно образовать название этой системы от соответствующего причастия, звучащего "он" (родит. - "онтос"), что значит "существующий". Если все-таки несмотря на эти соображения мы не употребляем [...] слово "онтология" как название исчисления имен, то исключительно из опасения перед недоразумением. Недоразумение могло бы возникнуть вследствие того, что это название укоренилось уже в иной роли. А именно, "онтологией" издавна принято называть исследование "о общих законах бытия", проводимых в духе определенных частей аристотелевских "метафизических" книг. Однако следует признать, что, если аристотелевскую дефиницию начальной теории ("протофилософии"), о которой главным образом говорится, по крайней мере, в этих книгах, интерпретировать в духе "общей теории предметов", тогда равно как на слух, так и по смыслу, ее можно применить к исчислению имен в представлении Лесьневского". (Kotarbinski [1929], S.253) Сам же Лесьневский к сказанному добавляет: "Обобщая упомянутые здесь г. Котарбинским терминологические тенденции [...], с которыми на протяжении ряда лет я свыкся, и принимая во внимание связь, возникшую между единственным первичным термином моей теории и обсуждаемым г. Котарбинским греческим причастием, я пользовался для обозначения теории, которую культивировал, названием "онтология", ибо оно не коробило моего "языкового чувства" благодаря именно тому обстоятельству, что я формулировал в этой теории определенного вида "общие принципы бытия". ([1931,S.163) Это знаменательное замечание свидетельствует о принадлежности Лесьневского к традиции "общей теории предметов".

Формальное изложение Онтологии достаточно сложно по многим причинам. Во-первых, хотя Онтология генетически возникла ранее Прототетики, ее "формальное изложение покоится на прототетике" ([1930a], S.113), более того, - продолжает Лесьневский, - "следует отметить, что в аутентичной редакции моей системы оснований математики система онтологии следует из системы прототетики" (S.115). Во-вторых, Лесьневский использует символику, отличную от общепринятой, вводя многочисленные сокращения, некоторые из которых будут приведены. Единственное формальное изложение Онтологии дано в работе [1930a], написанной на немецком языке, особенности которого позволяют иногда выявить характерные черты этой теории. Так, вводя в рассмотрение "единичное предложение", Лесьневский называет его "специальной примитивной функцией "Î{A a}", в которой термин "Î" является постоянным функциональным знаком" (S.114). Термин "функция" в немецком языке, как правило, выражает или обозначает процесс, однако эта особенность не коробит "языкового чувства" автора Онтологии. Начало этого процесса настает тогда, когда "в момент, в котором начинается построение системы онтологии", уже известны предложения, принадлежащие Прототетике. Чтобы не приводить часто цитаты, свидетельствующие о динамическом характере Онтологии отметим, что слово "момент", отмечающее начало процесса вывода в Прототетике, встречается в тексте работы "Об основах онтологии" достаточно часто. Вместе с тем динамический характер теорий Лесьневского привносил трудности в их изложении не только комментаторам, но и автору. Этой же особенностью объясняется большое внимание, которое придавал автор определениям и правилам своей системы, контролирующим ее построение.

При изложении своей теории Лесьневский заменяет символику Пеано-Рассела следующим образом: выражениям "ù p", "p×q", "p×q×r", "p É q" и "p º q" соответствуют выражения его оригинальной символики "Ω(p)»,» Ω(pq)»,» Ω(pqr)»,» Ω(pq)» и «Ω(pq)». В аутентичной символике ранее приведенная аксиома Онтологии имеет вид:

ëAaû éΩ(Î{Aa}Ω(Ω(ëBû éΩ(Î{BA})ù) ëBCû éΩ(Ω(Î{BA}Î{CA})Î{BC}ù ëBû éΩ(Î{BA}Î{Ba})ù)) ù.

(запись из-за отсутствия соответствующего шрифта искажена! Знак "Ω" везде и далее заменяет соответствующие функциональные знаки!)

Ее использование сводится к правильному употреблению символов A, a, B, C, значение которых в зависимости от занимаемой позиции дается в пояснениях, составляющих большую часть изложения Онтологии, причем эти позиции, или лучше сказать, интралингвистические ситуации в свою очередь обозначаются. В конечном счете "терминологические пояснения" сводятся к следующему предписанию: "При предпосылке, что предложение A является последним (letze) предложением, уже принадлежащим системе, к нему можно добавить выражение B как новое предложение только в случае, когда, по крайней мере, выполняются следующие семь условий:

1) B Î 1defo(A);

2) B Î 2defo(A);

3) [$ C] C Î tho(A). B Î cnsqrprtqntf(C);

4) [$ C,D]. C Î tho(A). D Î tho(A). B Î cnsqeqvl(C,D);

5) [$ C]. C Î tho(A). B Î cnsqsbsto(A,C);

6) B Î 1extnsnlo(A);

7) B Î 2extnsnlo(A)".

Условия 1) и 3)-6) составляют "конструктивный метод системы прототетики", тогда как условия 2) и 7) относятся к Онтологии. Правые части "единичных предложений", составляющих условия 1)-7) представляют собой имена интралингвистических ситуаций и приводятся в иллюстративных целях и, конечно же, к системе Онтологии не принадлежат и являются как бы метаязыком Онтологии, построенным по тому же рецепту, что и сами предложения системы, т.е. путем переименования. Так запись "B Î 2defo(A)" следует читать следующим образом: "B есть выражение, которое в системе онтологии непосредственно за предложением А может быть значимо как дефиниция второго уровня"(S.123). Терминологического пояснения выражения "B Î 2extnsnlo(A)" условия 7) в "совершенно свободном языке", т.е. естественном найти в работах [1929],[1930] не удалось, хотя пояснение подобного выражения "A Î 2extnsnlp(B) (буква "p" в конце последнего выражения свидетельствует о принадлежности его к Прототетике), данное формально при помощи подобных же сокращений, имеется в работе ([1929], S.74-75) и занимает более одной страницы текста; по понятным причинам оно не приводится.

Что до условий 2) и 7), относящихся к Онтологии, то Лесьневский их комментирует следующим образом: "Условие 2) касается определения, в котором дефиниендум должен быть выражением типа "Î{A a}" ([1930], S.128). Таким образом, ранее высказанное суждение, что предложение "B есть A" предполагает наличие предложения <"A" есть a> подтверждается, причем это предложение представляет собой определение первого сорта, тогда как определение "B" - второго сорта. Устраняя в естественном языке иерархию дефиниций можно сказать, что условие 2) требует определения <a>, на основании которого только и можно воспользоваться <"A"> в функции упоминания. Разбирая сокращения, вводимые в комментариях, приходится констатировать, что Лесьневский именует интралингвистическую ситуацию, как, например, в случае с условием 2), когда "2defo(A)" есть имя определения, дефиниендум которого известен - "Î{A a}", но не известен дефиниенс; впрочем, он и не необходим, ибо достаточно, чтобы какое-то имя в правой части "единичного предложения" начало обозначать. "Условие 7) - продолжает коммен­тарий Лесьневский, - гарантирует в связи с условием 6) "экстенсиональность" каждого сорта входящей в онтологию функции".

Возвращаясь к предложению "Î{A a}" отметим, что автор Онтологии видит двойственность модусов одного и того же по сути термина как <"A"> и < a > и в этой связи замечает, что "для каждого предложения, которое уже в прототетике на основании правил этой теории может быть получено, соответствующее предложение как утверждение онтологии содержится дважды. Онтология "содержит" в этом смысле всю прототетику"([1930],S.128).

Некоторые "естественные" свойства предложений, извлеченные из аксиомы Онтологии, Лесьневский приводит explicite:

I. ëA aû éΩ (Î{A a} Ω (ëBû éΩ (Î{BA})ù))ù;

в обычной записи это предложение выглядит так:

I¢ ("A, a) ((AÎa) É $ b (B Î A))).

Формула I может быть усилена, ибо в Онтологии выводимо предложение

ëA aû éΩ (Î{A a}Î{AA})ù.

Однако более сильное утверждение "ëA aû éÎ{AA})ù«недоказуемо, а даже доказуемо его отрицание. Для "предложения существования" "($ A, a)(A Î a)", равно и для какого-либо предложения типа "Î{A a}", подчеркивает Лесьневский, в системе онтологии нет никаких средств доказательства. Таким образом, Онтология становится ante rem, становится исчислением имен, т.е. процессом, развитие которого определяется знаками "теории дедукции". В отличие от "раннего" Лесьневского, уповавшего на конвенции и эмпирические определения, применяемые то к подлежащему, то к сказуемому, в логическом периоде его творчества правила системы контролируют правую часть "единичных предложений", кодируемых обозначениями вроде 2defo(A), тогда как введение имен в левую часть регулируется исключительно универсальным квантором.

Другим "естественным" свойством "единичного предложения" является утверждение Онтологии:

II. ëA a B Cû éΩ (Ω (Î{A a}Î{B A}Î{C A})Î{B C})ù,

которое Лесьневский [1930] снабжает следующим комментарием: "В момент, в который я уже в своей системе онтологии посредством дефиниции

ëA Bû éΩ (Ω (Î{A B}Î{B A})={A B})ù

ввел знак тождества (Identitatszeichen) "=", с которым легко доказуемо предложение (без апеллирования к директиве экстенсиональности)

ëA B jû é Ω (= {A B} Ω (j{A} j{B}))ù

я могу из предложения II вывести симметричное предложение

ëA a B Cû éΩ (Ω (Î{A a} Î{B A} Î{C A}) =B C})ù «(S.130).

С учетом предложенной выше трактовки функтора "есть" последнее утверждение может быть прочитано следующим образом: "если B и C переименовывают A, то они суть имена одного и того же объекта".

Свойство III показывает транзитивность Î-отношения:

ëA a Bû éΩ (Ω (Î{A a} Î{B A}) Î{B a})ù.

Свойство IV, являющееся ослаблением аксиомы Онтологии, очерчивает условия, которым должно удовлетворять имя "A", чтобы оно могло употребляться как имя a:

ëA a bû éΩ (Ω (Î{B A} ëB Сû éΩ (Ω (Î{B C} Î{C A}) Î{B C}ù ëBû éΩ (Î{B A} Î{B a}ù) Î{A a})ù

Таким образом, Онтология есть теория "единичных предложений" вида "Î{A a}", т.е. "A есть а", но ни в коем случае предложения "A есть b", которое является предметом Прототетики.

В заключение абриса Онтологии приведем "усовершенствованную" аксиому, которой Б. Собоцинский, будучи студентом Варшавского университета, в 1929 г. придал следующий вид:

ëA aû éΩ (Î{A a}Ω (ëBû ΩéΩ (Î{A B}Î{B a}))ù)ù;

в наиболее употребляемой нотации эта аксиома Онтологии выглядит так:

("A, a)((AÎa)º($B)((AÎB).(BÎa))).

Легко видеть, что новшество Собоцинского состоит в том, что в правой части эквивалентности квантифицируется переменная для сказуемого "единичного предложения" "A Î b", выполняющая роль транзита в последовательности < A B a > и исключающая тем самым необходимость введения термина в функции употребления.^[156]

§ 6. ПРОТОТЕТИКА.

Прототетика, будучи одной из теорий системы оснований математики, появляется тогда, когда "единичное предложение существования" начинает именоваться, правда, под видом сокращений.^[157] Лесьневский пишет, что выражение типа "А Î b.= p" является сокращением предложения, которое он читает так: "О предмете A я скажу, что он есть b тогда и только тогда, когда p". ([1929], S.63) Естественно, "p" является пропозициональной переменной, а сама Прототетика - пропозициональным исчислением, построенным, если можно так выразиться, в духе Мереологии и Онтологии, т.е. посредством номинации и эквивалентности предложений - процессов, которые скрупулезно контролируются правилами теории и в ходе которых порождается бесконечная иерархия категорий. Поэтому часто Прототетика очерчивается как обобщенное пропозициональное исчисление с кванторами, связывающими пропозициональные переменные, функторы от пропозициональных переменных, функторы от функторных переменных от пропозициональных переменных и т.д. Короче говоря, кванторы в утверждениях Прототетики связывают переменные семантических категорий: категории предложений и категорий, обозначаемых произвольными дробями, числители и знаменатели которых редуцируются к предложениям. Согласно требованиям Лесьневского аксиомы Прототетики должны записываться исключительно при помощи функтора эквивалентности, хотя потом оказалось, что Прототетику можно сформулировать также с использованием импликации. К сожалению, одна лишь эквивалентность еще не определяет прочие логические функторы пропозиционального исчисления. Поэтому важным шагом в деле построения Прототетики оказались результаты Тарского [1923], принимавшего в нем активное участие и показавшего, что при помощи эквивалентности и квантора всеобщности можно определить отрицание и конъюнкцию. Вместе с этим Тарский доказал, что при использовании кванторов, связывающих пропозициональные и функторные переменные, удается выразить принцип экстенсиональности:

[f,g]\[p,q]:f(p,q).º.g(p,q): º:[j]:j{f}.º.j{g}

Однако Лесьневский считает, что пропозициональные функции "типа "j{f}", "j{f,q}", "j{f,q,h}" и т.д., по меньшей мере от одного аргумента, не являются предложениями для всех возможных значений их аргументов". Поэтому для каждого распределения значений аргументов, например, 0 и 1, встает вопрос об отличении значений функций, которые для данного распределения, несмотря на тезис об экстенсиональности, могут отличаться именами и являются функциями-константами. Поэтому построение Прототетики при помощи правил подстановки, отделения и использования кванторов все же главным образом зависит от правил, регулирующих использование определений, которыми и вводятся в систему новые имена. С другой стороны, следует помнить о крайнем номинализме Лесьневского, продиктованном отчасти той же экстенсиональностью, которую в случае Прототетики следует обосновать логически, т.е. определение, которым вводится новый термин, должно одновременно быть и утверждением системы. А поскольку развитие Прототетики происходит в том же направлении, что и в Мереологии и в Онтологии, т.е. в буквальном смысле "слева направо", то правило записи определения, имеющего форму эквивалентности, предписывает дефиниендуму находится всегда в левой части этой эквивалентности. Поэтому помимо обычного правила отделения, сформулированного для эквивалентности и гласящего, что "добавление к системе предложения S допустимо тогда, когда уже эквивалентность A, правая часть которой эквиморфна S, и некоторое предложение, эквиморфное с левой частью эквивалентности A, принадлежат к системе". ([1929, S.15) Лесьневский приводит также "ненатуральную разновидность "правила отделения", позволяющую утверждать, что предложение S присоединимо к системе, когда уже эквивалентность A, левая часть которой эквиморфна S, и некоторое предложение, с правой частью эквиморфной эквивалентности A, принадлежат к системе". (S.58)

В развитии Прототетики, насчитывающей пять этапов, соответствующих пяти системам с различными аксиоматиками, принимали участие наряду с Лесьневским также Вайсберг и Собоцинский. В конечном счете Прототетика была сведена к одной аксиоме, кратчайшую из которых, принадлежащую Собоцинскому, мы и приводим^[158]:

[pq]:: p º q. º\[f] \f(pf(p[u].u)). º:[r]:f(qr). º.q º p.

При использовании выше упомянутых правил из этой аксиомы следуют все законы двузначного исчисления высказываний, принцип экстенсиональности и принцип двузначности.

Прототетика является непротиворечивой теорией. Вопрос о полноте Прототетики окончательно нерешен, но Слупецкий [1953] доказал, что полна т.н. элементарная Прототетика, т.е. система, в которой кванторы связывают пропозициональные переменные и функторные переменные первого рода, т.е. переменные для функторов от пропозициональных переменных; полнота в этом случае понимается следующим образом: для каждой формулы p, не содержащей свободных переменных, p является теоремой элементарной Прототетики или формула p, присоединенная к элементарной Прототетике, приводит к противоречию.

В заключение очерка Прототетики заметим, что она вообще говоря не является исчислением, ибо интерпретирована хотя бы номиналистически в том смысле, что ее предметами могут быть и являются прежде всего имена как инскрипции; истинностные значения не только в Прототетике, но и во всей системе "оснований математики" не выделяются в особый вид ни имен, ни предметов и часто просто подразумеваются, когда речь идет о теоремах Прототетики. С учетом выше перечисленных свойств этой теории можно согласиться с мнением, бытующим в польской литературе о Лесьневском, что "Прототетика в определенном смысле является абсолютным исчислением предложений и невозможно представить себе более сильной системы исчисления предложений. Очевидно, Прототетика является системой более сильной, нежели исчисление предложений с переменными функторами, которое может быть отождествлено с элементарной Прототетикой. Кажется, что в так понимаемой абсолютности содержится интересная философская проблема. В связи с тем, что в Прототетике удается доказать принцип двузначности, то эта система может считаться наиболее адекватной репрезентацией классической логики предложений."^[159] К сказанному остается добавить, что под предложением следует понимать номинальное суждение.

Поскольку для Лесьневского развитие "системы оснований математики" происходит главным образом посредством определений, то они собственно и составили ядро его "теории дедукции", которую он решительно отделял от системы своих теорий - Прототетики, Онтологии и Мереологии. Несмотря на то, что определения в Прототетике включаются в состав ее предложений и носят творческий характер "проблема дефиниций" Лесьневским была выделена отдельной частью в процессе построения системы и составляет ядро "языка комментариев". Вопросу определений была посвящена отдельная работа "О дефинициях в так называемой теории дедукции".

ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ. Эта работа является "резюме курса лекций, названного "Об основах так называемой теории "дедукции", прочитанного в Варшавском университете" в 1930/31 академическом году. Главную цель этой работы Лесьневский видит в "формулировании правил, которые позволят из сопоставления аксиом и теорем как дефиниций, обозначенных некоторым специальным образом, присоединить их к системе "теории дедукции" и возможно прецизиозным способом кодифицировать условия, которые для таких дефиниций достаточны. Проблема дефиниций в основании "теории дедукции" находится совершенно вне системы оснований математики [...]". ([1931], S.291)

Содержание обсуждаемой работы составляют "терминологические пояснения" (terminologische Erklärung) на примере одной из аксиом исчисления высказываний и краткого резюме. Терминологические пояснения представляют собой критерии, описывающие на структурном уровне принадлежность того или иного выражения к выражениям, называемым дефинициями, следствиями отделения, следствиями подстановки, предложениями, фундаментальными выражениями, отрицанием и т.п. образованьями, рассматриваемыми на уровне инскрипций или их эквиморфности. Эти критерии по замыслу Лесьневского должны выражать синтаксические эквиваленты семантических свойств используемых терминов. Однако следствием выбранного способа изложения системы, в основе которого лежит процесс номинации во всех теориях, в том числе и в "теории дедукции", таким следствием оказывается параллелизм процессов на всех семиотических уровнях, в том числе и логическом. В качестве примера и подтверждения сказанного приведем одно из первых терминологических пояснений, поскольку другие пояснения весьма обширны и без рассмотрения конкретного примера, представляющего последовательность инскрипций, не многое скажут.

"Терминологическое пояснение I." О предмете A я скажу - пишет Лесьневский -, что он есть комплекс (Komplex) a (употреблено в genetivus pluralis -Ст.Л.), тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) А есть выражение; 2) когда некоторый предмет есть слово, относящееся к А, то он относится к определенному а; 3) когда некоторый предмет B есть а, некоторый предмет C есть а и определенное слово, относящееся к B относится к C, то B есть тот же предмет, что C; 4) когда некоторый предмет есть а, то он есть выражение относящееся к А". ([1932], S.292)

На основании этого и подобных терминологических пояснений, имеющих своим предметом физические объекты в виде конкретных записей, Лесьневский формулирует три условия, выполнение которых позволяет считать присоединяемые к системе предложения теоремами. Условия эти таковы: "1) присоединяемое утверждение является следствием подстановки определенного прежде [полученного] утверждения системы "теории дедукции" относительно последнего утверждения этой системы; 2) присоединяемое утверждение является следствием отделения определенного прежде полученного утверждения "теории дедукции" относительно определенного прежде полученного утверждения этой системы; 3) присоединяемое утверждение является дефиницией относительно последнего утверждения этой системы". (S.309)

Таким образом понимаемая "теория дедукции" в определенной степени объясняет характер ранее рассмотренных теорий, составляющих "систему оснований математики" и являющихся конкретными физическими образованьями; эти образования ни к коем случае не являются законченными объектами, поскольку их можно расширить и в этом смысле они суть объекты динамические. Вместе с тем конструктивный номинализм Лесьневского предопределяет уникальность его теорий. Так две версии, например, Прототетики, одна из которых базируется на эквивалентности, а другая - на импликации являются двумя совершенно отличными логическими системами, несмотря на то, что в обычном смысле они эквивалентны и взаимно переводимы. Даже две изоморфные с точностью до эквиморфности системы, согласно Лесьневскому, не являются двумя экземплярами одной и той же системы, но двумя разными системами. Вместе с тем системы Лесьневского чрезвычайно богаты в том смысле, что допускают все возможные семантические категории, которые удается получить из основных категорий, т.е. имен и предложений. Чтобы согласовать требования конструктивного номинализма с возможностью расширения систем новыми утверждениями Лесьневский был вынужден в мелочах разрабатывать правила конструкции своих систем. Правила конструирования являются наиболее сложным элементом систем Лесьневского и состоят, как было показано, из терминологических пояснений, выражающих сугубо структурные особенности выражений системы, т.е. они касаются исключительно формы выражений, а не их смысла. Именно поэтому автор этих теорий придал им аксиоматическую форму и во Львовско-варшавской школе был одним из инициаторов формулирования критериев построения аксиом, касающихся их количества, длины и органичности. (Органичной называется такая запись предложения, собственная часть которой не является предложением системы.) Относительно своих систем Лесьневский дополнительно постулировал, что аксиомы должны содержать как можно меньше понятий, принадлежащих к разным семантическим категориям, а также быть каноническими аксиомами; система аксиом является канонической, если состоит из одной аксиомы, эта аксиома имеет вид эквивалентности, а кванторы, записанные снаружи эквивалентности, связывают переменные, находящиеся исключительно в левой части эквивалентности. В системах Лесьневского вообще нет свободных переменных: все переменные "связаны" кванторами.