Неадекватная символизация Адекватная символизация 10 страница

Таким образом, если истинностную оценку считать именем предложения в косвенном употреблении, то, очевидно, отождествить ее с ситуацией невозможно. Поэтому Лукасевич оставляет индукцию как опосредующий метод, предваряющий дедукцию и обращается непосредственно к ревизии рассуждения как понятию, охватывающему и индукцию, и дедукцию. Эта ревизия состояла в высказывании сомнения относительно универсальности двух важнейших законов: принципа исключенного третьего и принципа противоречия. Если второму из этих законов посвящена монография "О принципе противоречия у Аристотеля"[1910], то о первом можно найти упоминание в коротком отчете "О принципе исключенного среднего"[1910a]. Исходная позиция метафизика Лукасевича в ревизии обоих этих законов одна. В отчете он пишет: "[...] два важнейших онтологических принципа, известных как принцип противоречия и принцип исключенного среднего истинными сами по себе не являются, но требуют доказательства; однако поскольку доказать их не удается, особенно в применении к реальным предметам, то их следует считать только допущениями. Поэтому необходимость признания этих принципов не имеет логического источника, но проистекает из определенных практических потребностей"(S.126).

В ревизии рассуждения как процесса, в частности, процесса приписывания свойств предметам именно последние стали для Лукасевича на какое-то время целью анализа, и здесь можно обнаружить выразительное влияние А.Мейнонга, в семинарах которого в 1909 г. в Граце участвовал Лукасевич. В выводах упомянутого отчета он ставит под сомнение, "подпадают ли под принцип исключенного среднего общие предметы, такие как треугольник вообще, человек вообще и т.д." "Но если речь идет о реальных предметах,- продолжает Лукасевич - принцип исключенного среднего, кажется, остается в тесной связи с постулатом повсеместной детерминации явлений, не только теперешних и прошедших, но и будущих".([1910a], S.126-127)

Оба упомянутых принципа для Лукасевича являются ничем иным, как способом рассуждения, процессом, правильность которого не может приниматься "на веру". В "Принципе противоречия" он не приступает к анализу этого закона с априористских позиций, считая, что "все же плохо, когда в философии существуют неприкасаемые принципы; хуже, если эти принципы не обоснованы; еще хуже, если эти неприкасаемые и необоснованные принципы когда-то были предметом ожесточенного спора. Как же получилось, что спорный принцип, которого никто не умеет доказать, считается настолько правильным, что и коснуться его даже невозможно? Куда же подделась научная критика, которой мы так гордимся в эпоху критицизма?" ([1910], S.6) Поэтому Лукасевич считает для себя невозможным аксиоматически принять принцип противоречия, особенно после того, как тот стал предметом спора, который он лишь упоминает, не приводя впрочем аргументов "за" и "против". По поводу Гегеля, также являющегося противником принципа противоречия, а значит в какой-то мере также ревизовавшем этот принцип, Лукасевич пишет:" Гегель [...] создал "метафизическую логику", не основывающуюся на принципе противоречия. Но эта попытка была чересчур радикальной, нечеткой и неясной, чтобы быть понятой и принятой".(S.5) И поскольку этот принцип оказался необоснованным Лукасевич приступает к его анализу.

Работа Лукасевича состоит из двух частей: исторической и систематической. В первой он различает три аспекта принципа противоречия: онтологический, логический и психологический.

Онтологический принцип противоречия: ни один предмет не может одновременно обладать и не обладать одним и тем же свойством.

Логический принцип противоречия: два суждения, в одном из которых предмету приписывается некоторое свойство, а в другом это свойство отрицается, не могут быть одновременно истинными.

Психологический принцип противоречия: два убеждения, которым соответствуют два противоречивых суждения, не могут существовать в одном сознании.

Затем Лукасевич показывает, что хотя онтологическая и логическая формулировки принципа не равнозначны, но для Аристотеля они тождественны. Лукасевич согласен с этим взглядом Стагирита и в дальнейшем пользуется обоими формулировками взаимозаменяемо. Что же касается психологической формулировки, то ее Лукасевич считает эмпирическим принципом, а поэтому доказательство закона противоречия на основании априорных суждений, к которым относятся также онтологическая и логическая формулировки, невозможно. Критика психологического принципа противоречия как логического закона является первым аргументом Лукасевича, ставившего под сомнение правильность воззрений Аристотеля на этот принцип. Вторым аргументом, вызвавшем сомнение Лукасевича, служит тезис, что можно найти более очевидный и простой принцип, нежели принцип противоречия и таковым польский логик считает принцип тождества. Вместе с тем - и это главный упрек Аристотелю - Стагирит не является последовательным, поскольку, с одной стороны, он считает, что принцип противоречия недоказуем, а с другой - формулирует ряд его доказательств. По мнению Лукасевича все доказательства (главным образом апагогические) не верны с формальной точки зрения. Лукасевич считает, что непоследовательность Аристотеля можно объяснить психологическими мотивами: "Кажется, никто не чувствовал сильнее необходимость доказательства принципа противоречия, чем сам Аристотель; однако он не умел и не мог согласиться с этим чувством убеждения, что принцип противоречия как принцип окончательный не может быть доказан. Тем самым он оказался в неудобном положении: запутался в противоречиях в самом рассмотрении принципа противоречия". ([1910], S.51-52)

Прочие возражения Лукасевича могут быть сведены к следующим положениям: а) принцип противоречия как закон логики не является ни достаточным, ни необходимым, ибо можно рассуждать дедуктивно или индуктивно и делать это непротиворечиво; б) принцип противоречия не удается вывести из дефиниции истины или лжи, как не удается его вывести ни из принципа тождества, ни из принципа двойного отрицания; в) можно привести формальное доказательство принципа противоречия, используя определение предмета как чего-то, что не обладает противоречивыми свойствами, однако это доказательство будет формальным, а не предметным. Так как для доказательства принципа противоречия нужно предварительно показать, что ни один предмет не является противоречивым, в чем Лукасевич весьма сомневается, то свою монографию он заканчивает словами: "Поскольку принцип противоречия предметно не удается доказать, несмотря на то, что такое доказательство необходимо, то он не имеет логической ценности. Зато он имеет важную практическо-этическую ценность, будучи единственной защитой против ошибок и лжи.- Поэтому мы должны его принять" ([1910],S.152)

Таким образом оказывается, что для Лукасевича логическое основание не является единственным и даже важнейшим мотивом в решении принятия тех или иных суждений: свойство истинности суждения переводится в этическую плоскость, как потом окажется, единственно с целью освободиться от формальных ограничений, а тем самым и от самого принципа противоречия. В данном случае этические мотивы сыграли роль метатеории.^[202]

И наконец следует ответить на вопрос: какую роль сыграла монография "О принципе противоречия у Аристотеля" в процессе формирования идеи многозначной логики? На первый взгляд влияние этой работы может показаться минимальным, поскольку о ней Лукасевич почти не вспоминает в своем дальнейшем творчестве^[203]. Одно из таких упоминаний можно обнаружить в статье "О творчестве в науке", где в примечании Лукасевич высказывает неуверенность в применении этого принципа к реальным предметам. Более существенное упоминание содержится в прощальной речи от 7 марта 1918 г. В ней Лукасевич впервые публично без подробностей заявил о сконструированной им системе трехзначной логики, а при случае вспомнил, что уже в "Принципе противоречия" старался показать, что этот принцип не очевиден, и что в это время (т.е. около 1910 г.) он пробовал сформулировать неаристотелевскую логику, но попытки эти не увенчались успехом. Упоминания об этой книжке нет даже в исследовании, посвященном силлогистике Аристотеля, хотя может показаться, что обе эти работы служат как бы началом и окончанием его творчества в области истории философии и логики. Можно предположить, что Лукасевич занял позицию, подобную той, что и Лесьневский в своем отступничестве, руководствуясь аналогичными мотивами, а именно, он считал, что работа "О принципе противоречия у Аристотеля" является метафизической, чрезмерно отягощающей логику онтологией. Ведь в "логическом" периоде Лукасевич разделял совершенно иные взгляды на отношение логики и онтологии. Когда он сформулировал систему многозначной логики, то считал, что опыт может и должен решить, какая логика является формальной моделью мира. Еще позже, в период II мировой войны, Лукасевич склонялся ко взгляду, что выбор логики является делом конвенции. Таким образом, очевидного повода возвращаться к своей первой книжке у Лукасевича не было. Тем более позже оказалось, что с точки зрения многозначной логики исторически более интересными были взгляды Аристотеля на принцип исключенного третьего, нежели на принцип противоречия. И все же следует признать, что ревизионистские интенции Лукасевича мало зависели от объекта исследования и были направлены на метод рассуждения. Логические законы были единственно поводом для обнаружения границ уверенности логических рассуждений. Лукасевич пишет: "Должен наступить момент, когда логики начнут рассматривать взаимные отношения этих принципов (т.е. принципов логики, в т.ч. принципа противоречия.- Б.Д.). [...] Лишь тогда окажется, какое место среди логических законов занимает принцип противоречия, в чем состоит его правильность и ценность, как далеко простирается действенность его применения; тогда окажется, действительно ли этот принцип важнейший из всех и является ли он краеугольным камнем всей нашей логики, или же его можно преобразовать, а даже опустить и создать систему неаристотелевской логики так, как возникла посредством преобразования аксиомы о параллельных система неэвклидовой геометрии"(S.7-8)

Сопоставляя тексты прощальной речи 1918 г. и приведенную цитату из "Принципа противоречия" можно однозначно констатировать, что в период 1910-1918 гг. Лукасевич пробовал сконструировать неаристотелевскую логику и свое решение связывал с ревизией принципа противоречия. И хотя в "Принципе противоречия" XVI глава носит название "Неаристотелевская логика", она не содержит ничего, кроме методологических рассуждений о значимости этого принципа. Таким образом, удостоверившись в логической недоказуемости принципа противоречия и в значимости его этической и практической аргументации Лукасевич как бы возвращается к упомянутому выше отчету "О принципе исключенного среднего", а в сущности возвращается к метафизическим основаниям процесса рассуждения - к вопросу о необходимости логических законов. Правда, эту необходимость он узрел в онтологии, что и позволило ему закон исключенного среднего считать не логическим законом, а металогическим. Оказалось, что неаристотелевская логика требует ревизии принципа двузначности: каждое предложение является или истинным, или ложным. Пересмотр этого принципа Лукасевич совершил в известной работе "О детерминизме", являющейся его ректорской речью в 1922/23 учебном году. Он пишет: "Именно потому этот принцип и не может быть доказан, что он лежит в основании логики. В него можно только поверить, а поверит в него тот, кому он покажется очевидным. Тогда я могу этот принцип не признавать и принять, что наряду с истинностью и ложностью существуют иные логические оценки, по крайней мере еще одна, третья логическая оценка". ([1922], S.125) Комментируя высказывания Аристотеля о будущих случайных событиях (известная проблема морского боя) Лукасевич приходит к выводу, что Стагирит сомневался в универсальности принципа исключенного среднего, тогда как решительным сторонником двузначности были стоики во главе с Хрисиппом. Поэтому Лукасевич называет новую, трехзначную логику не неаристотелевской, а нехрисипповой.

Но прежде чем коснуться этой знаменитой работы отметим резонанс в философской среде, вызванный монографией "О принципе противоречия у Аристотеля". Попросту говоря, на страницах журнала "Пшегленд филозофичны" возникла дискуссия. Так Лесьневский[1912] присоединился к взгляду, что принцип противоречия требует доказательства и предложил таковое, носящее онтологический характер. У Котарбинского [1913a], в свою очередь, сомнение вызвал принцип исключенного третьего и он предложил, что наряду с предложениями ложными и истинными могут существовать неопределенные предложения, т.е. такие, которые сегодня ни истинны, ни ложны, например, предложение "завтра я пойду гулять".^[204] Неопределенные предложения связаны с фактами, создаваемыми в будущем человеческой деятельностью, а их истинность вечна, но не предвечна. Отсюда, по мнению Котарбинского, ни одно суждение не может быть одновременно истинным и ложным (принцип противоречия). И вместе с тем невозможно, чтобы некое суждение не было истинным, а его отрицание было ложным, и если данное суждение не было ложным, то его отрицание было истинным, поскольку значим закон: для каждого суждения p, p истинно, либо p неистинно, или p ложно, либо p не ложно; по мнению Котарбинского последнее утверждение является ослаблением закона исключенного среднего.^[205] Лесьневский [1913a] приводил аргументы в защиту тезиса, что каждая истина не только вечна, но и предвечна, а в [1913] он ставил под сомнение закон исключенного среднего. По мнению Лесьневского существуют пары предложений, которые будучи взаимными отрицаниями, являются ложными, например, "квадратный круг есть круг" и "неправда, что квадратный круг есть круг". Но Лесьневский, вопреки Котарбинскому, защищает принцип двузначности.^[206] К проблемам, затронутым в "Принципе противоречия у Аристотеля" Лукасевич вернулся только в 1918 г. в упоминавшейся выше речи и в двух коротких рефератах "О понятии возможности" [1920] и "О трехзначной логике" [1920a].

Таким образом, в двадцатые годы принцип двузначности в размышлениях Лукасевича занял место принципа противоречия. Оба этих закона не могут быть доказаны и получают поэтому статус принципов, но в отличие от принципа двузначности принцип исключенного третьего не требует защиты в виде аргументов практического и этического характера, поскольку оказалось, что введение в рассмотрение более двух истинностных оценок позволяет последовательно строить логическую систему. Но наиболее значимое различие этих принципов в [1910] и последующих работах Лукасевича состояло в том, что принцип противоречия трактовался как обычный логический закон, а принцип двузначности - как закон металогический. Поэтому оказалось, что конструкция нехрисипповой логики зависит не столько от набора аксиом, сколько от решения метатеоретических вопросов, ибо когда Лукасевич писал "Принцип противоречия" он не различал логику и металогику. Сомнению подвергался логический закон (принцип противоречия) и нет ничего удивительного в том, что он получил в результате фрагмент классической логики, а не новую, неаристотелевскую логику.

Значения принципа двузначности было позже выяснено в исследованиях Лукасевича, Лесьневского и Тарского. В обычном исчислении высказываний принцип двузначности сформулировать не удается. Но в более богатых логических системах, например, в Прототетике Лесьневского или в исчислении высказываний с переменными функторами принцип двузначности является теоремой. Если в таких системах принято стандартное определение конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, то следствием принципа двузначности будут законы противоречия и исключенного среднего. Например, без принятия того, что отрицание истинного предложения ложно, а отрицание ложного предложения истинно, с принципом двузначности согласуется предложение "два взаимно отрицающих друг друга предложения могут быть одновременно ложными"; это предложение согласуется с принципом двузначности до тех пор, покамест не будет принято, что конъюнкция двух ложных высказываний - ложна.^[207]

Возвращаясь к "семантике" трехзначной логики, т.е. к проблеме детерминизма отметим, что Лукасевич полагал, будто из принципа двузначности следует принцип детерминизма, но не наоборот, и подобное же соотношение имеет место между принципом трехзначности и принципом индетерминизма, причем под индетерминизмом Лукасевич понимал взгляд, согласно которому в будущем относительно момента t могут возникнуть события, не предрешенные в момент t. Предрешить же значение самой "неаристотелевской логики" Лукасевич не берется, констатируя единственно значение теоретическое, т.е. как удавшуюся ревизию теоретического метода рассуждения. А поскольку семантика такой логики не была прояснена, то и практическое ее значение остается невыясненным, но имеющим для Лукасевича несомненную ценность. Он пишет: "Будет ли и какое практическое значение иметь новая система логики - это выяснится лишь тогда, когда в свете новых логических законов окажутся проведенные подробные исследования логических явлений, особенно имеющих место в дедуктивных науках и когда можно будет сравнить с опытом следствия индетерминистского взгляда на мир, являющегося метафизическим основанием новой логики".([1920],S.131)

В 1922 г. Лукасевич обобщил трехзначное исчисление высказываний до логики, имеющей произвольное конечное число истинностных оценок. Значение импликации и отрицания определялось в нем следующими соотношениями: Cpq=1, для p£q, Cpq=1-p+q, для p>q, Np=1- p, где 0<p, q<1. Если же из отрезка [0,1] использовать только крайние значения, то получается случай двузначной логики. Говоря обобщенно, приведенные соотношения определяют произвольное многозначное исчисление высказываний L_n, где n - произвольное натуральное число не меньше 2; L₂ - это просто двузначное исчисление высказываний. Тавтологией произвольного L_n-исчисления (для фиксированного n) является формула, принимающая значение 1 для произвольного набора значений пропозициональных переменных. Следующим шагом в обобщении многозначной логики было принятие в качестве истинностных значений бесконечного числа оценок, хотя и перечислимого. В такой системе L_À соотношения для C и N такие же, как в L_n. Таким образом, возникает последовательность исчислений от L₂ до L_À, причем все L_n (n>2) содержится в L₂, т.е. все тавтологии всех L_n строго включаются в L₂. Для L_n и L_m (n<m) Линденбаум (Лукасевич, Тарский[1930]) показал, что L_m содержится в L_n, если n-1 является делителем m-1. L_À содержится во всех конечнозначных L_n.

До сих пор речь шла о матричной конструкции многозначной логик. Естественно, в Школе попытались эти исчисления аксиоматизировать. Вайсберг [1931] доказал, что L₃ аксиоматизируется следующими формулами: CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCNpNqCqp, CCCpNppp; правилами вывода являются подстановка и отделение. Тот же автор высказал гипотезу (Лукасевич, Тарский[1930]), которую позже и доказал [1935], что каждое конечнозначное исчисление L_n аксиоматизируемо, если оно содержит следующие формулы: CCpqCCqrCpr, CCqrCCpqCpr, CCqrCpp, CCpqCNqNp, CNqCCpqNp. Лукасевич высказал гипотезу, что L_x аксиоматизируется выражениями CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCCpqqCCqpp, CCCpqCqpCqp, CCNpNqCpq.^[208]

Все приведенные аксиоматики оказались неполны в том смысле, что первичных терминов C и N оказалось недостаточно, чтобы определить все функторы многозначного исчисления высказываний, причем для каждого L_n (n>2). Дело в том, что число функций стремительно растет с ростом n и, например, для n=3 число одноаргументных функций равно 27, а функций от двух аргументов - 19683. Слупецкий [1936] решил проблему функциональной полноты для L₃. Он определил одноаргументный функтор T такой, что Tx = 1/2 для произвольного x Î {0, 1/2, 1}. Функторы C, N, T определяют все функторы исчисления L₃. Чтобы получить аксиоматику L₃ нужно к приведенным выше аксиомам Вайсберга добавить формулы CTpNTp, CNTpTp.

Все исчисления L_n (n>1) непротиворечивы. Сложнее обстоит дело с полнотой. Полноту L₃ доказал Слупецкий [1939],[1946]. В связи с исследованиями функции T и вопросом полноты (каждая тавтология принадлежит системе) Слупецкий [1939a] сформулировал простой критерий функциональной полноты для произвольного L_n: многозначное исчисление высказываний функционально полно, если первичные термины этой системы позволяют определить каждый одноаргументный функтор, и когда по меньшей мере один из первичных терминов этого исчисления, являющийся функтором двух аргументов, определяется истинностнозначной матрицей со следующими свойствами: а) не все строки внутренней части таблицы идентичны, б) не являются идентичными все столбцы таблицы, в) во внутренней части таблицы должны находиться все значения, которые могут принять аргументы функторов этого исчисления. Приведенные требования носят название критерия Слупецкого.^[209] Обсуждаемые выше исчисления были системами с одним выделенным значением. Собоцинский [1936] исследовал исчисления с двумя выделенными значениями, а Слупецкий [1939] - с k<n выделенными значениями.

В 30-е годы Лукасевич [1930] оценивал изобретение многозначных логик так: "Я сразу осознал, что среди всех многозначных систем только две могут претендовать на философскую значимость: трехзначная система и система бесконечнозначная. [...] Считаю, что именно этой последней системе принадлежит первенство среди прочих".(S.159) И далее: "Все же мне кажется, что философское значение представленных здесь систем логики может быть по меньшей мере так же велико, как и значение неэвклидовых систем геометрии".(S.161) Позже, в [1953] Лукасевич изменил свой взгляд на философскую значимость трех- и бесконечнозначной систем логики. Предлагал также Лукасевич, чтобы многозначные системы исчисления высказываний и предикатов послужили основанием для исследований в арифметике и теории множеств. Таким образом, значение этих систем для Лукасевича двоякое: философское и математическое.^[210]

§ 2. Модальные логики.

Уже первые изложения трехзначной логики в 1920 г. содержали явную связь модальности и многозначности. Лукасевич считал, что в двузначной логике не удастся согласовать интуитивные трактовки модальных функторов. Эта мысль является следствием объяснения формализации модальностей не как операторов, а как функторов, уравненных концептуально в правах с логическими знаками. Это свое убеждение Лукасевич последовательно выражал на протяжении всего своего научного творчества. ^[211]

Первое систематическое изложение модальной логики дано Лукасевичем в работе с названием "Философские замечания о многозначных системах исчисления предложений."[1930] Правда, здесь не представлена система модальной логики как таковая, но только показаны требования, которым должна, по мнению Лукасевича, удовлетворять такая система. Модальными предложениями Лукасевич называет следующие четыре выражения:

(1) возможно, что p - символически: Mp;

(2) невозможно, что p - символически: NMp;

(3) возможно, что не-p - символически: MNp;

(4) невозможно, что не-p - символически: NMNp.

Традиционные утверждения о модальностях по мнению Лукасевича можно разделить на три группы. К первой группе относятся предложения следующего вида: (a) Ab oportere ad esse valet consequentia (Если что-либо необходимо, то оно существует); (b) Ab esse ad posse valet consequentia (Если что-либо существует, то оно возможно); (с) Ab non posse ad non esse valet consequentia (Если что-либо невозможно, то оно не существует). Общим представителем этой группы является предложение

(I): Если невозможно, что p, то не-p.

Вторую группу составляет утверждение Лейбница из Теодицеи: (d) Unumquodque, quando est, oportet esse (Чтобы то ни было, когда оно существует - оно необходимо). Лукасевич замечает, что последнее высказывание в действительности происходит от Аристотеля и разбирает возможные интерпретации Стагирита. В результате анализа оказывается, что слово "quando" в предложении (d), как и соответствующее ему "hotan" у Аристотеля, являются частицами, выражающими не условие, но время. Однако временная форма переходит в условную форму, поскольку в связанных временными рамками предложениях определение времени оказывается включенным в содержание предложений.^[212]

Предложение (d) имеет следующую эквивалентную формулировку

(II): Если предполагается, что не-p, то невозможно, что p.

Третью группу представляет аристотелевский принцип обоюдной возможности

(III): Для некоторого p, возможно, что p, и возможно, что не-p.

В символике исчисления высказываний предложения (a)-(c) имеют вид: (1) CNMpNp, (2) CNpNMp, (3) SpKMpMNp (в последнюю формулу входит знак экзистенциального квантора). Выражения (I)-(III) Лукасевич трактует как временные аксиомы модальной логики и выводит из них при помощи обычного исчисления высказываний ряд следствий: (5) CpMp, (6) CNpMNp, (7) CNMNpp, (8) CNMNpMp, (9) CNMpMNp, (10) CMpp, (11) CMNpNp, (12) CpNMNp, (13) CMpNMNp, (14) CMNpNMp. Формулы (5)-(9) являются следствиями (I), а оставшиеся - следствиями (II). Некоторые из приведенных формул очевидны, например, (5), которая утверждает, что то, что существует, возможно. Однако другие весьма сомнительны с интуитивной точки зрения, например, (10), утверждающая, что если что-либо возможно, то оно существует. Короче говоря, следствия, полученные из (I) интуитивно прозрачнее, нежели следствия из (II). Аксиома (II) является обратной аксиоме (I). Взаимно противоположными являются формулы (5) и (10), (6) и (11), (7) и (12), (8) и (13), (9) и (14). Поэтому имеют место эквивалентности EpMp, ENpMNp, ENMNpp, ENMNpMp, ENMpMNp, а понятия возможности и необходимости становятся излишними, поскольку каждое из последних предложений эквивалентно либо "p", либо "Np". Лукасевич считает, что причина такого положения дел заключается в невозможности сформулировать в двухзначном исчислении утверждение (II).

Следствия из утверждения (III) также не радуют Лукасевича. Используя определение универсального квантора через квантор экзистенциальный и отрицание из (III) получаем

(IV) NПpNKMpMNp.

Применяя к (IV) выводимую в Прототетике Лесьневского формулу CKfpfNpfq получаем ПpMp, т.е. все является возможным, как и ничто не является невозможным, а равно и ничто не является не необходимым. Существенная идея этого вывода в том, что функтор M является функтором в смысле Прототетики Лесьневского, т.е. экстенсиональным функтором. Взяв в качестве посылок (10) CMpp и ПpMp сразу же получаем Пp,p. А это означает, что система модальной логики, основанная на аксиомах (I)-(III) противоречива, поскольку к ее следствиям принадлежит произвольное предложение. Лукасевич заключает: "С учетом этого можно бы решить вопрос модальных предложений, основываясь на двузначном исчислении предложений, двояким образом: утверждение (I) и связанные с ним формулы первой группы [...] следует признать безусловно; в них никогда не сомневались. Из утверждений (II) и (III) можно выбрать только одно. Если мы решимся на утверждение (II) и связанные с ним формулы второй группы [...], то все модальные предложения становятся эквивалентны предложениям немодальным, следствием чего является то, что вообще не стоит вводить в логику предложения модальности; тогда нужно также отбросить весьма интуитивное понятие обоюдной возможности, как ведущее к противоречию. Если же, наоборот, решится на утверждение (III), то мы должны признать парадоксальным вывод, что все возможно, и тогда опять же нет смысла вводить модальные предложения в логику, поскольку нужно также отказаться от очевидного утверждения (II), чтобы избегнуть противоречия. Ни одно из этих решений нельзя признать удовлетворительным".(S.151)

Источником этих трудностей является интерпретация модальных функторов в двузначном исчислении предложений. В этом исчислении существует четыре одноаргументные функции: 1) f1=f0=1 (verum от p); 2) f1=0 и f0=1 (отрицание p); 3) f0=0, f1=1 (эквивалентность fp и p); 4) f1=f0=0 (falsum от p). Функтор возможности должен быть идентичен с одной из выше приведенных функций. Можно показать, что аксиомы (I)-(III) исключают некоторые случаи, например, формула CNMpNp истинна, когда Mp=fp (здесь f - falsum от p). Но главным аргументом в выборе аксиом является несогласованность (II) и (III) в том смысле, что не существует функции f такой, что Mp=fp, для которой (I) или (II) одновременно истинны. Таким образом, Лукасевичем была показана невозможность непосредственного введения модальных функторов в двузначное исчисление высказываний как с синтаксической точки зрения, так и с семантической.

Решение проблемы модальностей Лукасевич, естественно, видит в использовании трехзначной логики, а точнее - в нахождении в L₃ такого определения возможности, которое бы выполняло условия, очерченные в (I)-(III). Первая удовлетворительная дефиниция имела вид Mp=AENpПqNCpKqNq. Эта довольно сложная по свидетельству самого Лукасевича дефиниция должна быть прочитана следующим образом: "возможно, что p значит то, что "или предложение p и не-p равнозначны, или не существует такой пары противоречивых предложений, которые бы следовали из предложения p". В более общем значении понятие возможности в L₃ предложил в 1921 г. Тарский: Mp=CNpp. Дефиниенс этого определения ложен тогда и только тогда, когда p=1/2. Из этого определения и таблиц для C и N получаем равенства: M0=0, M1/2=1, M1=1. Согласно этим равенствам, если предложение p ложно, то ложно также и предложение Mp, но Mp истинно, когда p истинно или p принимает третье значение. Этот результат Лукасевич посчитал наиболее согласованным с интуицией. Определение необходимости имеет вид Lp=NCpNp в соответствии с общепринятой схемой Lp=NMNp. Заканчивая свое первое систематическое изложение модальной логики в духе логики многозначной Лукасевич полностью принимает изложенные выше определения возможности и необходимости: " Решительно не высказываясь об интуитивном смысле приведенной выше дефиниции, мы должны однако признать, что эта дефиниция удовлетворяет всем условиям, определенным в утверждениях (I)-(III), и в частности, как это доказал г.Тарский, что это единственная возможная в трехзначной системе дефиниция, выполняющая эти условия". (Лукасевич [1930], S.156)