Научные методы в математике и ее преподавании

Основные методы математического исследования:

1. Эмпирические методы: наблюдение и опыт.

2. Логические методы:

- Сравнение.

- Анализ и синтез.

- Обобщение и специализация.

- Абстрагирование и конкретизация.

Наблюдение – метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Опыт – метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия.

Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Принципы сравнения:

1. Сравнение должно иметь смысл (сравнивать можно только те объекты, которые имеют определенную связь друг с другом).

2. Сравнение должно проходить планомерно (требуется четкое выделение тех свойств, по которым проводится сравнение).

3. Сравнение должно быть полным.

Анализ и синтез:

1. Анализ как путь (метод мышления) от целого к частям этого целого, а синтез – как путь (метод мышления) от частей к целому.

2. Анализ как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез как прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.

3. Анализ (аналитический) как метод исследования, основу которого составляет количественное изучение свойств объекта, опирающееся на понятие числа и меры, а синтез (синтетический) как метод исследования, основу которого составляет изучение качественных свойств объекта.

Виды анализа:

Анализ типа «фильтр» – при таком анализе человек, решающий задачу, действует без всякой видимой системы; он просто наугад хаотически ищет способы решения данной задачи, пробует приме­нить один способ за другим и отсеивает неоправдавшие себя пробы.

Анализ через синтез – это познание новых сторон, качеств и свойств изучаемых объектов путем включения этих объектов в систему связей и отношений, в которых эти новые свойства могут быть обнаружены.

Аналитический метод – это метод, сущность которого состоит в том, что исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сво­дится к утверждению, известному как истинное.

Синтетический метод – это метод, сущность которого состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение (требуемое утверждение).

Метод восходящего анализа – это метод, сущность которого видна из следующих рассуждений: для того чтобы было верно А, достаточно, чтобы было верно В.

Обобщение – процесс, при котором мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Специализация – процесс при котором мысленно выделяется некоторое свойство из множества свойств изучаемого объекта.

Абстрагирование – это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств.

Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими сторонами. Конкретизация может выступать и как наглядная иллюстрация, и как подтверждение какого-либо абстрактного положения, и как приложение некоторого свойства в конкретных условиях.

Умозаключение.

Умозаключение: - процесс получения нового суждения;

- вывод из одного или нескольких данных суждений.

Основные виды умозаключения: индукция и дедукция.

Индукция (от латинского – наведение, побуждение) имеет три основных значения:

1) это один из видов умозаключений, при котором из двух или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение (вывод);

2) это метод исследования, при котором, желая изучить некоторое множество объектов (некоторое явление), изучают отдельные объекты (обстоятельства), устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов (или те обстоятельства, от которых зависит данное явление);

3) это форма изложения материала в литературном источнике, беседе, когда от менее общих положений приходят к общим положениям (заключениям, выводам).

Основные виды индуктивных умозаключений:

- неполная индукция;

- полная индукция.

Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.

Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).

Полная индукция – умозаключение (вывод), основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.

Метод исследовательской (экспериментальной) индукции – это метод, который заключается в установлении причинных связей между объектами или явлениями с помощью наблюдений и эксперимента и имеет смысл лишь тогда, когда эти связи и отношения существуют объективно. При этом проводимые по индукции умозаключения от известного к неизвестному можно считать достоверными лишь с некоторой степенью вероятности.

Основные видя метода исследовательской индукции:

1. Метод сходства (совпадения);

2. Метод различия;

3. Метод остатков;

4. Метод сопутствующих изменений.

Дедукция (от латинского – выведение):

1) есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение. Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение. Правильность дедуктивного умозаключения зависит от справедливости обеих посылок. Если обе посылки верны и правильно применено правило вывода, то заключение бесспорно;

2) как метод исследования дедукция характеризуется тем, что для получения нового знания о некотором объекте находят ближайший к данному объекту класс объектов и применяют к этому объекту существенные свойства этого класса объектов;

3) дедукция может выступать и в виде особой формы изложения материала в учебнике и как один из методов обучения, при котором от общих правил и положений приходят к менее общим или частным правилам и положениям.

Виды дедуктивных умозаключений:

1. Умозаключение от более общего положения к менее общему (или единичному) положению.

2. Умозаключение от общего положения к общему положению.

3. Умозаключение от единичного к частному.

Специальные методы обучения математике

Специальные методы обучения математике – это адаптированные для обучения основные методы познания, применяемые в самой математике, характерные для математики методы изучения действительности.

Метод построения математических моделей – метод, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам.

Математическая модель – это специальное описание некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально-логический аппарат математики.

Процесс математического моделирования включает три этапа:

1. Формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории.

3. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного математического решения).

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств.

Аксиомы – утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, принимаемые без доказательства.Слово аксиома происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений.

Обучение аксиоматическому методу включает следующие этапы:

1. Формирование общих приемов поиска и проведения доказательства:

- анализ текста утверждения;

- развертывание условия;

- последовательный анализ заключения и условия утверждения;

- раскрытие содержания прямого и косвенного методов доказательства.

2. Освоение специфических приемов поиска и проведения доказательства утверждений в зависимости от конкретного их содержания и собственно математических методов, используемых при доказательстве утверждений.

3. Раскрытие сущности построения школьного предмета на основе аксиоматической теории.

Метод уравнений и неравенств – метод математики, основная идея которой заключается в:

- установлении основных связей, зависимостей между элементами, характеризующими изучаемое явление (процесс), т.е. в построении словесной модели явления (процесса);

- переводе словесной модели на язык математики: выявленные связи, зависимости между характеристиками явления записываются в виде уравнений, неравенств или их конструкций;

- решении поставленной задачи внутри математической модели;

- переводе полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Метод геометрических преобразований – математический метод, сущность которого состоит в построении модели традиционной евклидовой геометрии в объектах группы геометрических преобразований.

Метод геометрических преобразований в школе – средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. При этом его применение предполагает выполнение следующей последовательности шагов:

- выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;

- выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой;

- обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

Вопросы и задания:

1. Определите понятие метода обучения в дидактике и теории и методике обучения математике.

2. Какие классификации методов обучения существуют?

3. Охарактеризуйте классификацию методов обучения математике.

4. В каком смысле выступают анализ и синтез в процессе преподавания математики?

5. Охарактеризуйте три основных значения индукции и дедукции.

6. Назовите основные этапы метода математического моделирования.

7. В чем заключается суть аксиоматического метода?

8. Составьте реферат на тему «Основные традиционные методы обучения математике».

9. Подготовьте сообщение о проблемном обучении математике.

Литература

1. Бабанский, Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. – М.: Просвещение, 1985. – 208 с.

2. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1975. – 368с.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика» / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

5. Санина, Е.И., Рогова, Е.А. Психолого-педагогические основы обучения математике: учеб. пособие для самостоятельной работы студентов. – М., 2005. – 36 с.

6. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. – М., 2002.

7. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 176с.

8. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. – М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. – 224 с.

§4. Формы организации обучения математике

Важную роль в учебном процессе играют формы организации или виды обучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогического процесса. Основной формой организации учебно-воспи-тательной работы с учащимися является урок. Дадим определения основных форм обучения, рассмотрим понятие «урок», его основные характеристики, структуру, основные требования к уроку, типы уроков, виды анализа уроков, этапы подготовки учителя к урокам.

Организационная форма обучения – специальная конструкция процесса обучения, характер которой обусловлен его содержанием, методами, приемами, средствами, видами деятельности учащихся.

Организационная система обучения – совокупность форм, объединенных по признаку связи учащихся и учителя посредством учебного материала и дополняющих друг друга.

Основные организационные системы обучения:

- индивидуальная;

- классно-урочная;

- лекционно-семинарская.

Виды организационных форм обучения:

- фронтальные;

- групповые;

- индивидуальные.

Фронтальная форма обучения предполагает совместные действия всех учащихся класса под руководством учителя. При этом цель ставится перед всеми учащимися, которые выполняют одинаковые задания; учитель руководит этим процессом и оказывает помощь. Педагогическая эффективность фронтальной работы во многом зависит от умения учителя держать в поле зрения весь класс и при этом не упускать из виду работу каждого ученика. Ее результативность повышается, если учителю удается создать атмосферу творческой работы, поддерживать внимание и активность школьников. Однако фронтальная работа не рассчитана на учет их индивидуальных различий. Она ориентирована на среднего ученика.

Групповая форма обучения – обучение, при котором учитель управляет учебно-познавательной деятельностью групп учащихся класса. При этом ставится учебная цель, дифференцируются задания с учетом познавательных возможностей участников; помощь учителя может быть ориентирована либо на всех учащихся, либо на ту или иную группу. К групповым относят также парную работу учащихся.

Индивидуальная форма обучения предполагает самостоятельную работу каждого ученика в отдельности по выполнению одинаковых для всего класса или группы заданий. Однако если ученик выполняет самостоятельное задание, данное учителем с учетом учебных возможностей, то такую организационную форму обучения называют индивидуализированной. С этой целью могут применяться специально разработанные карточки. В том случае, если учитель уделяет внимание нескольким ученикам на уроке в то время, когда другие работают самостоятельно, то такую форму обучения называют индивидуализированно-групповой.

Коллективная форма организации учебной работы – это такое обучение, при котором коллектив обучает и воспитывает каждого своего члена и каждый член активно участвует в обучении и воспитании своих товарищей по совместной учебной работе. При общеклассной (фронтальной) работе почти исключается сотрудничество и товарищеская взаимопомощь, распределение обязанностей и функций. Все ученики делают одно и то же, они не привлекаются к управлению, так как руководит учебным процессом только один учитель. Коллективное обучение – это также общение обучающих и обучаемых в динамических парах или парах сменного состава.