Методика изучения теорем и их доказательств

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства.

Виды формулирования теоремы: импликативная и категорическая.

Условие теоремы – при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект.

Заключение теоремы – что об этом объекте утверждается.

Основные типы теорем:

1. Прямая.

2. Обратная.

3. Противоположная.

4. Контрапозитивная (обратная противоположной).

Доказательство – рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения.

Элементы доказательства:

- тезис;

- аргументы доказательства;

- демонстрация.

Тезис – математическое предложение, в котором выражается главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.

Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения.

Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса: прямые и косвенные.

Прямые приемы доказательства:

- синтетический – преобразование условия суждения;

- восходящий анализ – отыскание достаточных оснований справедливости заключения;

- нисходящий анализ – отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений;

- последовательное преобразование то условия, то заключения суждения.

Косвенные приемы поиска доказательств:

- метод от противного – метод, при котором истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения;

- разделительный метод (метод разделения условий или метод исключения) – метод, при котором тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения опровергаются, кроме одного.

Методы доказательства, выделенные по используемому математическому аппарату:

- Метод геометрических преобразований – метод, используемый как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии.

- Алгебраические методы – методы доказательства теорем с помощью уравнений, неравенств, тождественных преобразований.

- Векторный метод – метод, использующий аппарат векторной алгебры.

- Координатный метод – метод, позволяющий устанавливать переход от геометрических отношений к аналитическим.

Этапы изучения теоремы:

- мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания;

- работа над структурой теоремы;

- мотивация необходимости доказательства теоремы;

- построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;

- поиск доказательства, доказательство и его запись;

- закрепление теоремы;

- применение теоремы.

Методические приемы мотивировки необходимости изучения теорем:

1. Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык.

2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач.

3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем.

4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки.

Задания, способствующие усвоению теоремы:

1) Сформулируйте теорему.

2) Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема?

3) Сформулируйте теорему со словами «Если…то…».

4) Сформулируйте предложение, обратное теореме.

5) Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов.

6) Составьте план доказательства.

7) Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве.

8) Докажите теорему другим способом.

9) Решите задачи на применение теоремы.

Вопросы и задания:

1. Что такое понятие? Охарактеризуйте основные логические характеристики понятия.

2. Каковы способы определения понятий? Приведите примеры из школьного курса математики.

3. Составьте логико-математический анализ определения понятия (по выбору).

4. Охарактеризуйте два метода введения математических понятий. Приведите конкретные примеры.

5. Каковы структурные элементы теоремы? Назовите виды формулирования теорем. Приведите примеры из курса школьной геометрии.

6. Назовите и раскройте методы доказательства теорем.

7. Каковы основные этапы изучения теорем?

8. Составьте логико-дидактический анализ теоремы (по выбору).

Литература

1. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин.-тов / Е.И.Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф.Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223с.

2. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Сост.: В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – М.: Просвещение, 1975. – 368с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика» / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

4. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 2000. – 173 с.: ил.

5. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 176 с.

6. Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н.Ф. Талызиной. – М.: Вентана-Граф, 1995.

§3. Методы обучения математике и их классификация

Одно из центральных мест в дидактике и в методике обучения математике занимают методы обучения. Знание методов обучения математике необходимо для организации эффективного обучения школьников. Как учебный предмет «математика» обладает многими лишь ей присущими чертами. В силу этого в процессе обучения необходимо использовать различные методы, отражающие эту особенность и при формировании математических понятий, и при знакомстве с задачами, возникающими при использовании этих понятий в практической и учебной деятельности. Приведем основные определения методов, их классификации, специальные методы обучения математике.

Метод обучения – это упорядоченный комплекс дидактических приемов и средств, с помощью которых реализуются цели обучения и воспитания.

Методы обучения – это взаимосвязанные способы деятельности учителя и учащегося, направленные на овладение учащимися знаниями, умениями, навыками, на воспитание и развитие их в процессе обучения.

Педагогическая классификация методов обучения:

1. Методы преподавания (средства, приемы, способы информации, управления и контроля познавательной деятельностью школьников).

2. Методы изучения (учения) (средства, приемы, способы усвоения учебного материала, репродуктивные и продуктивные приемы учения и самоконтроля).

Методы изучения математики – способы осуществления активной, самостоятельной познавательной деятельности математического характера самих школьников.

Среди методов изучения математики можно условно выделить:

1. Научные методы изучения математики:

- методы познавательной математической деятельности, адекватные известным мыслительным операциям (наблюдение и опыт, сравнение, анализ и синтез, обобщение и специализация, абстрагирование и конкретизация);

- методы научного исследования (индуктивный, дедуктивный, продуктивный, интуитивное познание).

2. Учебные методы изучения математики:

- эвристический метод;

- обучение на моделях;

- метод программированного обучения и т.д.

Методы преподавания математики – способы передачи учащимся определенной системы математических ЗУН. К методам преподавания относятся обучающие беседа, рассказ, объяснение и лекция учителя, управление самостоятельной работой тренировочного характера, руководство работой учащихся с учебной литературой и т.д.

Классификации методов обучения по различным основаниям:

1. По характеру познавательной деятельности:

а) объяснительно-иллюстративный (рассказ, лекция, беседа, демонстрация и т.д.);

б) репродуктивные (решение задач, повторение опытов и т.д.);

в) проблемные (проблемные задачи, познавательные задачи и т.д.);

г) частично-поисковые – эвристические;

д) исследовательские.

2. По компонентам деятельности:

а) организационно-действенные (организация и осуществление учебно-познавательной деятельности);

б) контрольно-оценочные (метод контроля и самоконтроля эффективности учебно-познавательной деятельности;

в) стимулирующие (стимулирование и мотивации учебно-воспитатель-ной деятельности).

3. По дидактическим целям:

а) методы изучения новых знаний;

б) методы закрепления знаний;

в) методы контроля.

4. По способам изложения учебного материала:

а) монологические – информационно-сообщающие (рассказ, лекция, объяснение);

б) диалогические (беседа, проблемное изложение, диспут).

5. По источникам передачи знаний:

а) словесные (рассказ, лекция, беседа, инструктаж, дискуссия);

б) наглядные (демонстрация, иллюстрация, схема, показ материала, график);

в) практические (упражнения, лабораторные работы, практикум).

Классификация методов обучения математике:

1. Методы, направленные на первичное овладение знаниями:

а) информационно-развивающие:

- передача информации в готовом виде (лекция, объяснение, демонстрация учебных кинофильмов, слушание магнитозаписей и др.);

- самостоятельное добывание знаний (самостоятельная работа с книгой, с обучающей программой, с информационными базами данных – использование информационных технологий);

б) проблемно-поисковые:

- проблемное изложение учебного материала (эвристическая беседа);

- учебная дискуссия;

- лабораторная поисковая работа;

- организация коллективной мыслительной деятельности в работе малыми группами;

- организационно-деятельностная игра;

- исследовательская работа.

2. Методы, направленные на совершенствование знаний и формирование умений и навыков:

а) репродуктивные:

- пересказ учебного материала;

- выполнение упражнения по образцу;

- лабораторная работа по инструкции;

- упражнения на тренажерах.

б) творчески-репродуктивные:

- вариативные упражнения;

- анализ производственных ситуаций;

- деловые игры и другие виды имитации профессиональной деятельности.