Постоянная непрерывная рента

Ранее мы считали, что потоки платежей поступают дискретно – через фиксированные интервалы времени. Часто более адекватным следует считать поток непрерывным. Например, при анализе долгосрочных производственных инвестиций при очень частом поступлении платежей (добыча полезных ископаемых, транспортировка нефти и газа).

При определении непрерывной ренты р®¥ найдем коэффициент приведения такой ренты при расчете современной стоимости:

ã_nq=

Подставляя р ® ¥ получим неопределенность, которую раскрываем по правилу Лопиталя:

ã_nq=

ã_nq= (1)

Аналогично найдем множитель приведения для случая наращения:

ŝ_nq= (2) или

ã_nq= ŝ_nq= (3)

Пример

q=20%

δ=ln(1.2)=0.18232155

∆=q/ δ=1.096963

Этот коэффициент δ связывает между собой множители приведения ã_nq и наращения ŝ_nq. Для непрерывной ренты и соответствующей дискретной (постоянной)

Пример

Доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых 1 млрд. р./год. Продолжительность разработки 10 лет. Отгрузка и реализация непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке q=10% составит:

А=1000*(1-1,1^-10)/ln1,1=6446,91 млн. р.

Таким образом, определили оценочную стоимость месторождения на основе доходного подхода.

Формулы (1) и (2) можно представить в следующем виде:

ã_nq= ŝ_nq= (4)

δ=ln(1+q)

Рассмотрим частный случай, позволяющий упростить расчет непрерывной ренты.

Для 1 года (n=1) согласно формуле (2):

ŝ₁= = (5)

Разложим эту формулу в ряд и оставим три первых члена:

ŝ₁≈1+ … (а)

Бином (1+q)^1/2 также разложим в ряд:

(1+q)^1/2 ≈1+ … (b)

Разность между ними составит:

Если q<0,5, то погрешность не превышает 1%.

Таким образом, коэффициенты наращения и приведения можно определить по формулам:

ŝ₁=

ã_nq= (5)

Равномерная и непрерывная выплата годовой суммы равнозначна выплате этой суммы в середине периода (года)