Непрерывные переменные потоки платежей

Часто, например, при анализе произведенных инвестиций (выход на проектную мощность) поток платежей может существенно меняются со временем, в том числе по какому-либо закону.

Пусть R_t=f(t) – функция времени. Тогда при начислении процентов с использованием силы роста получим:

S= (1) δ=ln(1+q)

Аналогично современная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом:

А= (2)

Линейный случай

Чтобы реально найти значение, надо иметь конкретный вид функции:

R_t=R_o+b*t (3)

Ro – начальный размер платежа

Интегрируем согласно (2), получим:

А = = K_o* ã_nδ + ã_nδ – n*e^-δ*n = (R_o + b/δ)* ã_nδ –

– n*e ^–δ*n (4)

Пример:

В течение трех лет выпуск продукции возрастает на 1 млн. р./год (b). Базовый уровень выпуска R_o=10 млн. р. Определить суммарный объем выпуска, приведенный к текущему периоду с учетом силы роста δ = 8%.

Согласно (4) и используя множители приведения:

ã_3,8=(1-е^-0,08*3)/0,08=2,66715

Получим А=30,51233 млн. р.

Чтобы найти наращенную сумму, используем зависимость:

S=A*v^-n=A*(1+q) ⁿ

q=0.083287

S=30.51233*1.083287³=38.78877 млн. р.

Экспоненциальный рост

R=R_o* e ^k*t , где k – темп прироста платежей (5)

А=R_o* (6)

k–δ=ln()

q – годовая процентная ставка

k₀ – дискретный темп прироста

Пример:

Прирост доходов составляет k₀=5%/год. Найти современную стоимость и наращенную сумму потока доходов, если

q=7%

Ro=100

n=3 года

Таким образом, k – δ=ln()=ln(1,05/1,07)=-0,0188685

А=291,6, S= A*(1+q) ⁿ=357.3