Указания к выполнению контрольных заданий 1 страница

Задача 1 каждого варианта составлена по теме “Парная регрессия и корреляция”. Введем следующие обозначения:

- факторный признак, независимая (объясняющая) переменная,

- результативный признак, зависимая переменная,

x – фактические значения факторного признака,

y – фактические значения результативного признака,

- расчетные (полученные по уравнению регрессии) значения результативного признака,

a, b - параметры уравнения регрессии.

В контрольных заданиях используется уравнение парной линейной регрессии вида:

Рассмотрим методику выполнения на условиях конкретной задачи:

American Express Company в течение долгого времени полагала, что владельцы ее кредитных карт предпочитают оплачивать свои расходы во время путешествий при помощи их карт. Для выяснения этого из компьютерной базы компании были случайно выбраны 25 владельцев карточек, которым были заданы вопросы о числе миль, которые они провели в путешествиях. Данные опроса о расходах путешественников и числе миль, проведенных ими в пути, составляют исходную информацию задачи.

N п/п	Число миль, проведенных в пути, X	Расходы, у.е, Y	N п/п	Число миль, проведенных в пути, X	Расходы, у.е, Y
1	1211	1802	14	3209	4492
2	1345	2405	15	3466	4244
3	1422	2005	16	3643	5298
4	1687	2511	17	3852	4801
5	1847	2332	18	4033	5147
6	2026	2305	19	4267	5738
7	2133	3016	20	4498	6420
8	2253	3385	21	4533	6059
9	2400	3090	22	4804	6426
10	2468	3694	23	5090	6321
11	2699	3371	24	5233	7025
12	2806	3998	25	5439	6964
13	3082	3555

Пункт 1. Построение поля корреляции результата и фактора производится по исходным данным о парах значений факторного и результативного признаков с соблюдением масштаба. На основе поля корреляции делаются выводы о направлении и возможной функциональной форме связи между факторным и результативным признаками (прямая - обратная, линейная - нелинейная).

Для условий рассматриваемой задачи поле корреляции выглядит следующим образом:

Связь между факторным и результативным признаками прямая, линейная.

Пункт 2. Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК): , где

a и b –оценки параметров модели.

Величины, минимизирующие суммы квадратов отклонений от для случая парной линейной регрессии, находятся как:

;

.

Значения ошибок, называемые обычно остатками, рассчитываются как .

Проведите интерпретацию полученных результатов.

Расчет необходимых данных лучше всего организовать в таблице. Для нашего примера таблица будет выглядеть следующим образом:

Таблица 1

N/N	х	у
			-1966,84	-2454,16			1787,652	14,34756
			-1832,84	-1851,16			1955,831	449,1692
			-1755,84	-2251,16			2052,471	-47,4707
			-1490,84	-1745,16			2385,062	125,9377
			-1330,84	-1924,16			2585,872	-253,872
			-1151,84	-1951,16			2810,529	-505,529
			-1044,84	-1240,16			2944,82	71,17973
			-924,84	-871,16	805683,6		3095,428	289,5722
			-777,84	-1166,16	907085,9	605035,1	3279,922	-189,922
			-709,84	-562,16	399043,7	503872,8	3365,266	328,7337
			-478,84	-885,16		229287,7	3655,186	-284,186
			-371,84	-258,16	95994,21		3789,477	208,5225
			-95,84	-701,16	67199,17	9185,306	4135,875	-580,875
Продолжение таблицы 1
N/N	х	у
			31,16	235,84	7348,774	970,9456	4295,268	196,7322
			288,16	-12,16	-3504,03	83036,19	4617,819	-373,819
			465,16	1041,84	484622,3	216373,8	4839,965	458,035
			674,16	544,84	367309,3	454491,7	5102,273	-301,273
			855,16	890,84	761810,7	731298,6	5329,439	-182,439
			1089,16	1481,84			5623,124	114,8759
			1320,16	2163,84			5913,044	506,9564
			1355,16	1802,84			5956,971	102,0292
			1626,16	2169,84			6297,093	128,9072
			1912,16	2064,84			6656,041	-335,041
			2055,16	2768,84			6835,515	189,4853
			2261,16	2707,84			7094,058	-130,058
сумма
Средн.	3177,84	4256,16

В соответствии с расчетами, представленными в таблице 1, а= 267,7715; b=1,2551

Соответственно уравнение регрессии может быть записано как:

Коэффициент регрессии линейной функции (b) есть абсолютный показатель силы связи, характеризующий среднее абсолютное изменение результата при изменении факторного признака на единицу своего измерения.

Полученное уравнение может быть объяснено следующим образом: с увеличением расстояния на 1 милю расходы путешественника в среднем увеличиваются на 1,2551 условных денежных единиц. Свободный член уравнения равен 267,7715, что может трактоваться как влияние на величину расходов других, неучтенных в модели факторов.

Пункт 3. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:

.

Значения линейного коэффициента корреляции принадлежит промежутку [-1;1].

Чем ближе его абсолютное значение к 1, тем теснее связь между признаками. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками, отрицательная - о наличии обратной связи между признаками.

Для нашей задачи r=0,98329, что подтверждает вывод, сделанный в пункте 1, что связь между признаками прямая, а также указывает на очень сильную взаимосвязь между количеством миль, проведенных в пути и расходами.

Квадрат коэффициента (индекса) корреляции называется коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. Например: =0,8 означает, что доля колеблемости результативного признака, объясненная вариацией фактора , включенного в уравнение регрессии, равна 80%. Остальные 20% приходятся на долю прочих факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

Для нашей задачи коэффициент детерминации равен 0,9669, то есть 96,69% вариации результативного признака (расходов путешественников) объясняется вариацией факторного признака (количеством миль, проведенных в пути)

Пункт 4 связан с темой “Проверка статистических гипотез”. Рекомендуется использовать следующую общую процедуру проверки гипотез:

1. Сформулируйте нулевую гипотезу о том, что коэффициент регрессии статистически незначим: (линейной зависимости нет)

при конкурирующей: (линейная зависимость есть)

или о том, что уравнение в целом статистически незначимо: .

2. Определите фактическое значение соответствующего критерия.

3. Сравните полученное фактическое значение с табличным.

4. Если фактическое значение используемого критерия превышает табличное, нулевая гипотеза отклоняется, и с вероятностью (1- ) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии. Если фактическое значение t - критерия меньше табличного, оснований отклонять нулевую гипотезу - нет.

Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t - критерия Стьюдента:

,

где

,

- стандартная ошибка оценки, рассчитываемая по формуле

.

Так как нулевая гипотеза предполагает, что =0, то t_набл. рассчитывается как:

.

Для определения табличного значения воспользуйтесь таблицами распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α, принимая во внимание, что число степеней свободы для распределения Стьюдента равно (k = n - 2).

Для нашего примера , а = 2,07, следовательно нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной и коэффициент регрессии статистически значим, то есть наличие существенной линейной зависимости между количеством миль, проведенных в путешествии и величиной расходов статистически подтверждается.

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F- критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия качества оценивания регрессии, который представляет собой отношение объясненной суммы квадратов SSR (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов SSE (в расчете на одну степень свободы), определяется как:

,

где SSR = - факторная, или объясненная моделью регрессии, сумма квадратов,

- остаточная, или необъясненная моделью сумма квадратов

k - число независимых переменных.

F - критерий можно выразить через коэффициент детерминации:

.

Для определения табличного значения воспользуйтесь таблицами распределения Фишера-Снедекора для заданного уровня значимости α, принимая во внимание, что в случае парной регрессии число степеней свободы большей дисперсии равно 1, а число степеней свободы меньшей дисперсии равно n - 2.

Для нашего примера =671, 137, а =4,45. Так как построенная модель регрессии в целом значима и может в дальнейшем использоваться нами для прогнозов.

Для выполнения пункта 5 необходимо изучить вопрос об интервальном оценивании в регрессионном анализе, уяснить смысл понятий “точечный прогноз” и “интервальный прогноз”. Для расчета точечного прогноза подставьте в уравнение регрессии заданное значение факторного признака .

Так, например, если необходимо оценить расходы путешественника, преодолевшего (собирающегося преодолеть) 4500 миль, следует использовать уравнение регрессии записанное нами в пункте 2:

, то есть в среднем путешественник, преодолевший 4500 миль израсходует 5915,7215 условных денежных единиц.

Доверительный интервал для значений , лежащих на линии регрессии, имеет вид:

,

где

- прогнозное значение зависимой переменной;

- стандартная ошибка оценки;

n - объем выборки;

- заданное значение .

Полученный интервал будет характеризовать значения результативного признака при заданном значении факторного признака для отдельной наблюдаемой единицы.

Так, для нашего примера этот доверительный интервал будет выглядеть как 5247,8367 6582,9665, то есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что расходы одного путешественника, преодолевшего 4500 миль составят от 5247,8367 до 6582,9665 условных денежных единиц.

Если же необходимо сделать вывод об интервале значений результативного признака для всех наблюдаемых единиц при среднем значении факторного признака , расчет будет производиться по формуле доверительного интервала генерального значения :

.

В соответствии с условиями рассматриваемого примера доверительный интервал, характеризующий расходы всех путешественников, преодолевших 4500 миль будет выглядеть как 5730,918 6099,885, то есть расходы всех путешественников, преодолевших расстояние в 4500 миль составят от 5730,918 до 6099,885 условных денежных единиц.

Сделайте выводы по задаче в целом.

Задача 2 составлена по теме “Множественная регрессия и корреляция” и предполагает построение и анализ двухфакторного уравнения линейной регрессии вида:

.

Рассмотрим методику решения задачи такого типа на примере:

Компания, производящая моющие средства, предприняла рекламную акцию в магазинах с демонстрацией антисептических свойств нового моющего средства. В этот же период компания использовала обычную теле- и радиорекламу. Через 20 недель компания решила проанализировать сравнительную эффективность различных видов рекламных расходов. Аналитик компании, исходя из гипотезы о линейной регрессионной взаимосвязи, оценил параметры модели следующего вида:

,

где

– объем продаж моющего средства,

– расходы на теле и радио рекламу,

– расходы на демонстрацию товара в магазинах.

Расходы приведены в условных денежных единицах.

Таблица 1. Исходные данные

Номера наблюдений
1	72	12	5
2	76	11	7
3	78	15	6
4	70	10	5
5	68	11	3
6	80	16	7
7	82	14	3
8	65	8	4
9	62	8	3
10	90	18	5

Пункт 1 посвящен анализу показателей тесноты связи в уравнении множественной регрессии.

Но прежде чем приступить к анализу показателей тесноты связи необходимо рассмотреть дискриптивные (описательные статистики), которые подробно изучались в курсах математической статистики с элементами теории вероятностей и общей теории статистики

Таблица 2. Дискриптивные статистики

	y	x1	x2
Размер выборки, n	10	10	10
Средняя арифметическая	74,3	12,3	4,8
Среднее квадратическое (стандартное) отклонение, S	8,54	3,37	1,55
Коэффициент вариации, V	0,12	0,27	0,32
Коэффициент асимметрии, As	0,35	0,31	0,19
Коэффициент эксцесса, Ex	-0,32	-0,91	-1,28

Сравнивая значения средних величин и стандартных отклонений, находим коэффициент вариации, значения которого свидетельствуют о том, что уровень варьирования признаков находится в допустимых пределах (< 0,35). Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса указывают на отсутствие значимой скошенности и остро-(плоско-) вершинности фактического распределения признаков по сравнению с их нормальным распределением. [4] По результатам анализа дискриптивных статистик можно сделать вывод, что совокупность признаков – однородна и для её изучения можно использовать метод наименьших квадратов (МНК) и вероятностные методы оценки статистических гипотез.

Парный коэффициент корреляции - это линейный коэффициент корреляции, характеризующий степень тесноты линейной связи между результативным и факторным признаками. Методика его расчета и интерпретация была изложена в пункте 3 задачи 1. При выполнении задания необходимо выписать матрицу парных коэффициентов корреляции и сделать выводы о наличии (отсутствии) в построенной модели мультиколлинеарности факторов.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции представлены в матрице парных коэффициентов (таблица 3). Они определяют тесноту парных зависимостей между анализируемыми переменными.

Таблица 3.Парные коэффициенты линейной корреляции Пирсона

	1,0000 (0,0)	0,9393 (0,0001)	0,4167 (0,2310)
	0,9393 (0,0001)	1,0000 (0,0)	0,4174 (0,2301)
	0,4167 (0,2310)	0,4174 (0,2301)	1,0000 (0,0)
В скобках: P (

Коэффициент корреляции между и свидетельствует о значительной и статистически существенной линейной связи между объемом продаж моющего средства и расходами на радио и теле рекламу. Увеличение расходов на рекламу поднимает объем продаж. Связь между и не является статистически значимой. Кроме того, степень тесноты связи между и выше, чем между и . Таким образом, можно сделать предварительное заключение, что расходы на демонстрацию моющего средства в магазинах, существенно не влияют на рост объема продаж нового моющего средства.