Указания к выполнению контрольных заданий 4 страница

Просуммировав первые 4 значения, получим общий объем продаж в 1996 году. Разделив эту сумму на 4, найдем средний объем продаж в каждом квартале 1996 года:

(239 + 201 + 182 + 297)/4 = 299,75.

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, так как представляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, то есть для точки, лежащей в середине между кварталами II и III. Последовательно продвигаясь вперед с шагом в один квартал, рассчитаем средние квартальные значения для промежутков: апрель 1996 – март 1997 (251), июль 1996 – июнь 1997 (270,25) и т.д. Данная процедура позволяет генерировать скользящие средние по 4 точкам исходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет собой наилучшую оценку искомого тренда.

Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:

A – T = S + E.

К сожалению, оценки значений тренда, получаемые в результате расчета скользящих средних по 4 точкам, относятся к несколько иным моментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 1996 года, то есть лежит в центре промежутка фактических объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же необходимы десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положение десезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой и второй оценок, центрируя их июнь-сентябрь 1996 года, т.е.

(229,75 + 251)/2 = 240,4.

Это и есть десезонализированная средняя за июль-сентябрь 1996 г. Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной скользящей средней, можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль-сентябрь 1996 года, равным 182. Отметим, что сглаживание по 4-м точкам приводит к потере оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда.

После расчетов в таблице 2. мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Расчеты приведены в таблице 3.

Таблица 3. Расчет средних значений сезонной компоненты

		Номер квартала
	ГОД	1	2	3	4
	1996 1997 1998	- +44,4 +40,8	- -21,9 -19,8	-58,4 -63,4 -64,5	+36,4 43,8 -
Итого		+85,2	-41,7	-186,3	+80,2
Среднее значение		85,2 ¸ 2	-41,7 ¸ 2	-186,3 ¸ 3	80,2 ¸ 2
Оценка сезонной компоненты		+42,6	-20,8	-62,1	+40,1	Сумма=- 0,2
Скорректированная сезонная компонента		+42,6	-20,7	-62,0	+40,1	Сумма = 0

Эта процедура позволяет уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы их общая сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год. Обычно корректирующий фактор рассчитывается путем деления суммы оценок сезонных компонент на число сезонов. В нашем же примере оценки второго и третьего кварталов мы округлили до ближайшего большего числа.

Значения скорректированной сезонной компоненты подтверждают наши выводы, сделанные на основе диаграммы. Объемы продаж за два зимних месяца превышают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы продаж за два летних месяца ниже средних на 21 и 62 тыс. шт. соответственно.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезона выступают дни недели, для элиминирования влияния ежедневной “сезонной компоненты” также рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, то есть в четверг, таким образом, необходимость в центрировании отпадает.

Шаг 2 состоит в десезонализации исходных данных. Она заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений данных за каждый квартал, то есть A – S = T + E, что показано в таблице 4.

Таблица 4. Расчет десезонализированных данных

ДАТА	Номер квартала	Объем продаж, тыс.шт.	Сезонная компонента	Десезонализированный объем продаж, Тыс. шт. A – S = T + E
Январь - март 1996	1	239	+42,6	196,4
Апрель – июнь	2	201	-20,7	221,7
Июль – сентябрь	3	182	-62,0	244,0
Октябрь – декабрь	4	297	+40,1	256,9
Январь - март 1997	5	324	+42,6	281,4
Апрель – июнь	6	278	-20,7	298,7
Июль – сентябрь	7	257	-62,0	319,0
Октябрь – декабрь	8	384	+40,1	343,9
Январь - март 1998	9	401	+42,6	358,6
Апрель – июнь	10	360	-20,7	380,7
Июль – сентябрь	11	335	-62,0	397,1
Октябрь – декабрь	12	462	+40,1	421,9
Январь - март 1999	13	481	+42,6	438,4

Новые оценки тренда, которые все еще содержат ошибку, можно использовать для построения модели основного тренда. Если нанести эти значения на исходную диаграмму, то можно сделать вывод о существовании явного линейного тренда

Уравнение линии тренда имеет вид:

,

где х – порядковый номер квартала,

а и b – параметры уравнения парной регрессии. Поскольку мы нашли, что тренд имеет линейный характер, то значения параметров линии, аппроксимирующей тренд, найдем методом наименьших квадратов.

где y = T + E,

, .

Подставив значения из последних колонок таблицы 4 в соответствующие формулы, получим: , .

Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид (с округлением значений коэффициентов регрессии до ближайших целых значений):

Трендовое значение объема продаж, тыс. шт. = 180,0 + 20,0 * номер квартала.

Шаг 3 нашего алгоритма, предшествующий составлению прогноза состоит в расчете ошибок или остатка. Наша модель имеет следующий вид:

A = T + S + E.

Значение S было найдено в таблице 2, а значение T в таблице 3. Вычитая каждое значение из фактических объемов продаж, получим значения ошибок.

Таблица 5. Расчет ошибок для модели с аддитивной компонентой

Дата	Номер квартала	Объем продаж, Тыс. шт.	Сезонная компонента	Трендовое значение, тыс, шт	Ошибка, тыс. шт.
Январь - март 1996	1	239	+42,6	200	-3,6
Апрель – июнь	2	201	-20,7	220	+1,7
Июль – сентябрь	3	182	-62,0	240	+4,0
Октябрь – декабрь	4	297	+40,1	260	-3,1
Январь - март 1997	5	324	+42,6	280	+1,4
Апрель – июнь	6	278	-20,7	300	-1,3
Июль – сентябрь	7	257	-62,0	320	-1,0
Октябрь – декабрь	8	384	+40,1	340	+3,9
Январь - март 1998	9	401	+42,6	360	-1,6
Апрель – июнь	10	360	-20,7	380	+0,7
Июль – сентябрь	11	335	-62,0	400	-3,0
Октябрь – декабрь	12	462	+40,1	420	+1,9
Январь - март 1999	13	481	+42,6	440	-1,6

Как и в случае линейной регрессии для того, чтобы найти меру соответствия модели исходным данным, необходимо вычислить значения ошибок (остатков) модели, то есть той части значения наблюдения, которую невозможно объяснить с помощью построенной модели. Для этого применяют среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation - MAD) и среднеквадратическую ошибку (mean square error - MCE).

Целесообразно использовать обе меры, так как последняя их этих мер резко возрастает при наличии высоких ошибок.

Мы можем использовать в шаге 4 последний столбец таблицы 5 для расчета MAD и MSE.

;

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 1 до 3% от уровней ряда. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитывают как:

F=T+S (тыс. шт. за квартал),

где трендовое значение Т=180+20*номер квартала, а сезонная компонента S составляет +42,6 в январе-марте, -20,7 в апреле-июне, 62,0 в июле-сентябре и +40,1 в октябре-декабре.

Порядковый номер квартала, охватывающего ближайшие три месяца с апреля по июль 1999 г., равен 14, таким образом, прогнозное трендовое значение составит:

Т₁₄=180+20*14=460 (тыс. шт. за квартал).

Соответствующая сезонная компонента равна –20,7 тыс. шт. Следовательно, прогноз на этот квартал определяется как:

F (апрель-июнь 1999г.)=460-20,7=439,3 тыс. шт.

Не следует забывать: чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мы предполагаем, что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным, распространяется и на будущий период. Для сравнительно небольших периодов упреждения такая предпосылка может действительно иметь место, однако ее выполнение становится менее вероятным по мере сопоставления прогнозов на более отдаленную перспективу.

Рассмотрим практическую реализацию методики решения задачи для модели с мультипликативной компонентной.

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю трендового значения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений тренда.

Пример 2. Компания LORA Ltd осуществляет реализацию нескольких видов продукции. Объемы продаж одного из продуктов за последние 13 кварталов представлены в таблице 6.

Таблица 6. Квартальные объемы продаж компании LORA Ltd

Дата	Номер квартала	Количество проданной продукции, тыс. шт.
Январь-март 1996	1	70
Апрель-июнь	2	66
Июль-сентябрь	3	65
Октябрь-декабрь	4	71
Январь-март 1997	5	79
Апрель-июнь	6	66
Июль-сентябрь	7	67
Октябрь-декабрь	8	82
Январь-март 1998	9	84
Апрель-июнь	10	69
Июль-сентябрь	11	72
Октябрь-декабрь	12	87
Январь-март 1999	13	94

Построим график, позволяющий сделать выводы о типе модели:

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем в летний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает. К таким данным следует применять модель с мультипликативной компонентной:

Фактическое значение = Трендовое значение Сезонная вариация Ошибка,

т.е.

А = T S E

В нашем примере есть все основания предположить существование линейного тренда, но чтобы полностью в этом убедиться, проведем процедуру сглаживания временного ряда.

В сущности эта процедура ничем не отличается от той, которая применялась для аддитивной модели. Так же вычисляются центрированные скользящие средние для трендовых значений, однако оценки сезонной компоненты представляют собой коэффициенты, полученные по формуле А/Т= S E. Результаты расчетов приведены в табл. 7.

Таблица 7. Расчет значений сезонной компоненты для LORA Ltd

Дата	Номер квартала	Объем продаж, тыс. шт. А	Скользящая средняя за четыре квартала	Центриро-ванная скользящая средняя	Коэффициент сезонности А/Т= S E.
1	2	3	4	5	6
Январь-март 1996	1	70
Апрель-июнь	2	66	68
Июль-сентябрь	3	65	70,25	69,13	0,940
Октябрь-декабрь	4	71	70.25	70,25	1,011
Январь-март 1997	5	79	70,75	70,50	1,121
Апрель-июнь	6	66	73,50	72,13	0,915
Июль-сентябрь	7	67	74,75	74,13	0,904
Октябрь-декабрь	8	82	75,50	75,13	1,092
Январь-март 1998	9	84	76,75	76,13	1,103
Апрель-июнь	10	69	78	77,38	0,892
Июль-сентябрь	11	72	80,50	79,25	0,909
Октябрь-декабрь	12	87		-	-
Январь-март 1999	13	94		-	-

Значения сезонных коэффициентов получены на основе квартальных оценок по аналогии с алгоритмом, который применялся для аддитивной модели. Так как значения сезонной компоненты - это коэффициенты, а число сезонов равно четырем, необходимо, чтобы их сумма была равна четырем, а не нулю, как в предыдущем случае. (Если бы в исходных данных предполагалось семь сезонов в течение недели по одному дню каждый, то общая сумма значений сезонной компоненты должна была бы равняться семи). Если эта сумма не равна четырем, производится корректировка значений сезонной компоненты точно таким же образом, как это уже делалось ранее. В таблице оценки, рассчитанные в последнем столбце предшествующей табл. 8, расположены под соответствующим номером квартала.

Таблица 8.Расчет значений сезонной компоненты для LORA Ltd

	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	1996	-	-	0,940	1,011
	1997	1,121	0,915	0,904	1,092
	1998	1,103	0,892	0,909	-
Итого		2,224	1,807	2,77753	2,103
Среднее значение		2,224 2	1,807 2	2,753 2	2,103 2
Оценка сезонной компоненты		1,112	0,903	0,918	1,051	Сумма =3,984
Скорректированная сезонная компонента		1,116	0,907	0,922	1,055	Сумма =0

Как показывают оценки, в результате сезонных воздействий объемы продаж в январе-марте увеличиваются на 11,6 % соответствующего значения тренда (1,116). Аналогично сезонные воздействия в октябре-декабре приводят к увеличению объема продаж на 5,5 % от соответствующего значения тренда. В двух других кварталах сезонные воздействия состоят в снижении объемов продаж, которое составляет 90,7 и 92,2 % от соответствующих трендовых значений.

После того, как оценки сезонной компоненты определены, можем приступить к процедуре десезонализации по формуле А/S= T E. Результаты расчетов этих оценок значений тренда приведены в табл. 9.

Таблица 9. Расчет уравнения тренда для компании LORA Ltd

Дата	Номер квартала	Объем продаж, тыс. шт., А	Коэффициент сезонности, S	Десезонализированный объем продаж, тыс. шт. А/T= S E
Январь-март 1996	1	70	1,116	62,7
Апрель-июнь	2	66	0,907	72,8
Июль-сентябрь	3	65	0,922	70,6
Октябрь-декабрь	4	71	1,055	67,3
Январь-март 1997	5	79	1,116	70,8
Апрель-июнь	6	66	0,907	72,8
Июль-сентябрь	7	67	0,922	72,7
Октябрь-декабрь	8	82	1,055	77,7
Январь-март 1998	9	84	1,116	75,2
Апрель-июнь	10	69	0,907	76,1
Июль-сентябрь	11	72	0,922	78,2
Октябрь-декабрь	12	87	1,055	82,4
Январь-март 1999	13	94	1,116	84,2

Теперь нужно принять решение о том, какой вид будет иметь уравнение тренда. Очевидно, что линия тренда - не кривая, наоборот, она несколько больше напоминает прямую, хотя отдельные точки, особенно значения за 1996 г, расположены хаотически. Предположим для простоты, что тренд линейный, и для расчета параметров прямой, наилучшим образом его аппроксимирующей, будем применять метод наименьших квадратов, который дает следующий результат:

Т = 64,6 + 1,36 номер квартала (тыс. шт. в квартал).

Это уравнение будем использовать в дальнейшем для расчета оценок трендовых объемов продаж на каждый момент времени.

Итак, мы нашли значения тренда и сезонной компоненты. Теперь мы можем использовать их для того, чтобы рассчитать ошибки в прогнозируемых по модели объемах продаж Т S по сравнению с фактическими значениями А. В табл.10 эти ошибки рассчитаны как отношение Е = А/(Т S).

Для каждого года ошибки достаточно велики, что видно из графика десезонализированных значений. Однако, начиная и первого квартала 1997 г., величина ошибки составляет в среднем 2-3 % от фактического значения, и можно сделать вывод о соответствии построенной модели фактическим данным.

Таблица 10.Расчет ошибок для компоненты LORA Ltd.