Анализ и моделирование связи между временными рядами

При анализе связи между явлениями по уровням временных рядов необходимо учитывать возможность искажения его результатов за счет влияния так называемой ложной корреляции, которая может возникнуть из-за простого сопутствия во времени развития двух явлений. Яркий пример ложной корреляции привел в одной из своих работ английский статистик Д.Финни.

Он сравнил динамику зарегистрированных радиоприемников и число душевнобольных в послевоенной Англии и получил высокий коэффициент корреляции, хотя прямая связь здесь, конечно, отсутствует.

Сопутствие во времени может возникнуть из-за наличия во временных рядах автокорреляции.

Определение степени тесноты связи между уровнями временных рядов осуществляется путем исчисления линейного коэффициента корреляции.

Покажем его расчет на следующем примере:

Таблица 4.10. Динамика среднегодовой численности промышленно-производственного персонала в промышленности в Ростовской области, (тыс.чел.)

Годы	Среднегодовая численность промышленно-производственного персонала в промышленности, Y	в том числе: рабочие, X
	569,7	462,6
	516,4	416,7
	472,0	384,5
	431,0	344,1
	395,8	316,2
	365,1	289,8

Определим степень тесноты связи между среднегодовой численностью рабочих и всего ППП в промышленности Ростовской области.

Заметим, что расчет может быть осуществлен и по другим формулам.

Промежуточные расчеты проведем в рабочей таблице.

Годы	y	x	xy	y2	x2
	569,70	462,60	263543,22	324558,09	213998,76
	516,40	416,70	215183,88	266668,96	173638,89
	472,00	384,50	181484,00	222784,00	147840,25
	431,00	344,10	148307,10	185761,00	118404,81
	395,80	316,20	125151,96	156657,64	99982,44
	365,10	289,80	105805,98	133298,01	83984,04
Суммы	2750,00	2213,90	1039476,14	1289727,70	837849,19

Близкое к единице значение коэффициента корреляции свидетельствует о тесной прямой (близкой к функциональной) связи между среднегодовой численностью рабочих и всего ППП в промышленности в Ростовской области.

Однако это может быть обусловлено автокорреляцией.

Прежде чем оценивать связь между показателями по рядам динамики, необходимо проверить каждый ряд на наличие автокорреляции.

Проверку временного ряда среднегодовой численности ППП в промышленности в Ростовской области мы осуществили в предидущих параграфах.

Опуская промежуточные расчеты приведем некоторые итоговые показатели анализа временного ряда среднегодовой численности рабочих.

- коэффициент автокорреляции между уровнями между текущими и непосредственно предшествующими уровнями временного ряда ;

- коэффициент автокорреляции по остаткам (в данном случае – по отклонениям от линейного тренда) ;

- критерий Дарбина-Уотсона DW = 1,53.

Так как DW > DW_U (1,53 > 1,36), гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается на уровне значимости α = 0,05.

Эту же гипотезу подтверждает низкая величина коэффициента автокорреляции в остатках .

Несмотря на то, что судя по величине критерия Дарбина-Уотсона, рассчитанного для временного ряда численности всего ППП, нельзя однозначно говорить об отсутствии автокорреляции уровней этого временного ряда, низкий коэффициент автокорреляции в остатках подтверждает правомерность этой гипотезы.

Следовательно, в данном примере, можно оценивать степень тесноты связи между временными рядами. Полученный ранее высокий коэффициент корреляции между уровнями временных рядов действительно объясняется зависимостью между численностью рабочих и ППП.

Исключение автокорреляции во временных рядах. Если между уровнями ряда существует автокорреляция, она должна быть устранена.

Есть несколько способов исключения автокорреляции в рядах динамики. К ним относятся: коррелирование отклонений от тренда и коррелирование последовательных разностей.

Коррелирование отклонений от тренда заключается в том, что коррелируются не сами уровни, а отклонения фактических уровней от выравненных, отражающих тренд, т.е. коррелируются остатки.

Для этого каждый временной ряд необходимо выравнять по определенной характерной для него аналитической формуле, (т.е. найти и ), затем из эмпирических уровней вычесть выравненные (т.е. найти остатки e_y и e_x) и определить тесноту связи между ними:

.

Несмотря на то, что мы пришли к выводу об отсутствии автокорреляции между временными рядами среднегодовой численности ППП и рабочих в промышленности в Ростовской области, используем этот пример для иллюстрации рассматриваемого приема.

Выровняем оба рядя по уравнению прямой. Не приводя расчеты параметров, запишем уравнение тренда для каждого ряда при условии отсчета времени от середины ряда:

Рассчитаем выравненные значения и , остатки e_y и e_x и определим степень тесноты связи между ними. Промежуточные расчеты приведем в таблице:

Годы	ey	ex	exey	(ey)2	(ex)2
	9,52	7,48	71,25	90,70	55,96
	-3,04	-3,96	12,05	9,24	15,72
	-6,70	-1,71	11,46	44,92	2,93
	-6,96	-7,66	53,32	48,51	58,62
	-1,43	-1,10	1,57	2,04	1,21
	8,61	6,95	59,86	74,12	48,34
Суммы	0,00	0,00	209,51	269,52	182,78

.

Как мы видим, коэффициент корреляции, рассчитанный по отклонениям от тренда, хотя и оказался близким к единице, все же меньше, чем коэффициент, рассчитанный по исходным уровням двух рядов. Это объясняется тем, что некоторая незначительная автокорреляция в рассматриваемых рядах все же есть, что и выявил рассчитанный нами показатель.

Другой причиной этого может выступать недостаточно удачно подобранное уравнение тренда.

Коррелирование последовательных разностей позволяет исключить влияние тренда при коррелировании временных рядов.

При использовании уравнения прямой определяют степень тесноты связи между первыми разностями, при изменении по параболе 2-го порядка — вторые разности, при изменении по параболе п- го порядка — п- е разности.

Формула расчета коэффициента корреляции по разностям имеет следующий вид:

Проиллюстрируем использование этого приема на нашем примере. Так как в обоих случаях выравнивание велось при помощи уравнения прямой, рассчитаем первые разности. Эти и последующие промежуточные расчеты приведем в рабочей таблице:

Годы	Δy	Δx	ΔxΔy	(Δy)2	(Δx)2
	-53,30	-45,90	2446,47	2840,89	2106,81
	-44,40	-32,20	1429,68	1971,36	1036,84
	-41,00	-40,40	1656,40	1681,00	1632,16
	-35,20	-27,90	982,08	1239,04	778,41
	-30,70	-26,40	810,48	942,49	696,96
Суммы	-204,60	-172,80	7325,11	8674,78	6251,18

.

Оценивание степени тесноты связи по первым разностям привело к тем же выводам, что и расчет коэффициента корреляции по отклонениям от тренда, что подтверждает выводы, сделанные ранее. При этом меньшая величина коэффициента корреляции указывает на не вполне обоснованное использование линейной функции для выравнивания временных рядов.