Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке

Пусть функция определена на отрезке . Если непрерывна на этом отрезке, то существуют точки и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из ), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную .

2) Найти стационарные и критические точки функции и выбрать те из них, которые попадают в отрезок .

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках , ). Выбрать наибольшее и наименьшее значения, эти значения являются наибольшими и наименьшими значениями на .

Пусть функция определена в интервале . В этом случае не гарантируется существование наибольшего и наименьшего значений у функций. После определения стационарных и критических точек и значений функции в них, необходимо изучить поведение функции при и . Сравнивая полученные значения, получают наибольшее или наименьшее значения функции или обосновывается факт отсутствия таких значений.

В случае бесконечных промежутков , , и др. схема исследований аналогична. Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке называют глобальными экстремумами функции.