Примеры решения типовых задач. При решении задач на определение экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы:

При решении задач на определение экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы:

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Найти стационарные и критические точки.

4) Применить к каждой точке достаточное условие существования экстремума для решения вопроса о его наличии.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

Решение. Область определения – множество всех действительных чисел .

Находим производную функции:

Найдем стационарные и критические точки. Решим уравнение : - стационарная. не существует при или . Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения точками 0, 2, 4 на интервалы , , , , в каждом из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах (см. рис.9)

4) Функция убывает в интервалах и , возрастает в интервалах и . Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точек и производная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. Функция убывает в интервале и возрастает в интервале .

5) Стационарная точка является точкой минимума. Тогда .

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, кроме . Дифференцируя частное, получим

.

Очевидно, что производная также определена при всех x, кроме . Из уравнения находим стационарные точки: , .

Разобьем область определения точками и на интервалы , , , , в каждой из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах (см. рис. 10).

Функция убывает в интервалах и , возрастает в интервалах и . Кроме того, в окрестностях стационарных точек и производная меняет знак, значит, они являются точками экстремума) Таким образом, – точка максимума и , – точка минимума ().

Задания для самостоятельной работы

n 66. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 6 7. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.