Примеры решения типовых задач. При исследовании функции на выпуклость и вогнутость функции придерживаются следующей схемы:

При исследовании функции на выпуклость и вогнутость функции придерживаются следующей схемы:

1) Установить область определения функции .

2) Найти вторую производную .

3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение ) или не существует.

4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если , то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. Ç; если - выпуклостью вниз, т.е. È).

5) Если при переходе через найденную точку направление выпуклости меняется и существует , то точка – точка перегиба графика функции.

Пример. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба.

Решение. 1) Функция определена при всех действительных значениях , таких, что , т.е. .

2) Найдем вторую производную.

,

при . не существует при , но эти точки не входят в область определения функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.

3) Разобьем область определения точкой на интервалы , , , , в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.

Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов (см. рис.13).

4) Функция выпукла вверх в интервалах , ; выпукла вниз в интервалах , .

5) В интервалах , имеет разные знаки. Значит, точка является точкой перегиба графика функции.

Задания для самостоятельной работы

n 71. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба графика функции.