Мера и нечеткая мера

Понятие меры было введено для частных случаев Э. Борелем К. [18], К. Жорданом [19] и А. Лебегом [20]. В современной теории меры Banon G. формулирует его следующим образом, [11].

Пусть заданы области определения: аддитивный класс 2^x в пространстве X на универсальном множестве X; значения – множество действительных чисел R. Функция множества называется мерой , если выполняются условия {1,2,3}:

1) ограниченность - ;

2) неотрицательность - ;

3) аддитивность - .

В теории нечётких множеств используется понятие «нечеткая мера», на основе которой определяется функция доверия.

Пусть теперь заданы области определения, аддитивный класс 2^А в пространстве А на универсальном множестве X; значения - отрезок [0,1] на множестве действительных чисел.

Функция множества называется нечеткой мерой g:

, если выполняются условия {1,2,3}:

1) ограниченность – g (Ø) = 0, g(x)=1;

2) монотонность – для

3) непрерывность – для A_n 2^A и монотонной последовательности

Тройка называется пространством с нечеткой мерой.

Задача построения нечетких мер

Пусть в результате некоторого наблюдения или эксперимента в для , стали известны (измерены) значения функции .

Задача построения нечеткой меры заключается в том, чтобы по с помощью какого-либо правила, определить .

В отличие от меры m, нечеткая мера , по определению, не является аддитивной, т.е. ≠ .

Поэтому М. Сугэно [21] постулировал λ -правило для построения нечетких мер с параметром нормировки λ:

В частном случае, при , λ - правило запишем следующим образом:

Если теперь так задать , чтобы , то, с учётом

, получим выражение для параметра нормировки λ:

(1.9)

Дальнейшее рассмотрение построения нечетких мер требует их аппроксимации с применением (L-R) функции по Д. Дюбуа и А. Праду [22].

Это может быть выполнено для конкретных нечетких мер из их классификации.

Представим классификацию нечетких мер по Banon G. [11]:

НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ

Функция доверия. Мера необходимости

Функция правдоподобия. Мера возможности

λ>0 λ=0 λ<0

Рис.1.4. Классификация нечетких мер.