Области определения функций

Условиям аддитивности удовлетворяют степенное множество 2^А в некотором пространстве А и борелевский класс В, в пространстве интервалов множества действительных чисел R. Поэтому в теории нечетких множеств существуют дискретная и непрерывная области определения: .

1) Дискретная область определения.

Пусть задано универсальное множество X:

X={x₁,x₂,..,x_i,…,x_n}, i=1÷n. (1.4)

В Х определено пространство А:

. (1.5)

На множестве J номеров элементов пространства А образовано множество К=2^J, т.е. степенное множество. Тем самым, в А построен аддитивный класс 2^А:

(1.6)

Этот класс является дискретной областью определения различных функций в теории нечётких множеств. В частном случае, если А=X, областью определения является 2^X.

2) Непрерывная область определения. Пусть задано универсальное множество R, элементы которого принадлежат множеству r. На R определено пространство интервалов А:

, (1.7)

где I_j - интервал с границами r_j и r_j+1; m, n – границы пространственных интервалов А.

В А построен борелевский класс В:

, (1.8)

где .

Класс В является непрерывной областью определения различных функций в теории нечётких множеств.

3) Базовые функции. Рассмотрим две одинаковые числовые оси.

- числовая функция от х.

Если каждому значению х из (a; b) по какому- нибудь закону или правилу f

поставлено в соответствие одно определенное значение другой величины

, то говорят, что – есть числовая функция от х.

х – аргумент;

(a, b) – область определения функции;

(c,d) – область значений функций.

Например: y = sinx; y = x²;

х – независимая переменная,

у – зависимая переменная от х.

}

Множество точек М (х; у), где , называется графиком функции .

Простейший вид заданного типа функции называется базовой функцией.

Пример, - линейная функция. Базовой функцией будет являться функция .

При построении функции заданного типа предварительно строим график базовой функции.

Пример: Построить график функции .

Перед нами – квадратичная функция. Ее графиком является парабола. Базовой функцией будет являться функция .

Для построения нашей функции выделим полный квадрат:

График нашей функции строится в три этапа:

1. Строим график базовой функции

2. Сдвигаем нашу функцию на влево:

3. Опускаем график полученной функции на вниз.

График функции

Понятие сложной функции

Для освоения понятия сложной функции введем в рассмотрение промежуточную числовую ось z.

Для примера рассмотрим функцию . Для этой функции, для заданного х, предварительно вычисляется . Для полученного значения z вычисляется . Таким образом, в два приема для заданного х, мы получили значение . Такое задание от х называется сложной функцией.

– сложная функция от х.

Промежуточных числовых осей может быть несколько.

Например:

Обратная функция

Простейшие функции, изучаемые в средней школе, называются базовыми функциями.

Элементарной функцией будем называть базовую функцию или функцию,

полученную путем четырех арифметических действий из базовых функций, или

взятия сложной функции, последовательно применяемых конечное число раз

.

Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполнены следующие условия:

1. – существует значение функции в точке

2. существуют пределы функции слева и справа при

3. все полученные нами числа должны быть равны между собой.

И записывается это так:

Так как, , то условие непрерывности примет вид

Для непрерывной функции знак предела и знак функции можно переставлять местами.

Разрывная функция

Конечный скачок

}

скачок

Бесконечный скачок

Устранимый скачок: предел слева равен пределу справа, а в точке значение не существует, или не совпадает с пределами.

В точке значение функции вычислить нельзя, так как на 0 делить нельзя.