Множества и перечень базовых операций над множествами

Множества по Г. Кантору есть совокупность однородных сущностей, называемых элементами. Например, если множество A состоит из элементов , в котором А, А, А, то А = .

Число элементов множества называется мощностью или кардинальным числом и обозначается #А. Например, если А = , то #А = 3, т.е. обладающих совокупностью однородных сущностей (мощность множества, или любой объект в предметной области).

Подмножества множества - любое множество, каждый элемент которого принадлежит . Например, если А = , то подмножествами А являются

{ }, { }, { }, { }, { }, { } и . Каждое из них вложено в множество А, наприме р, { } вложено в А, или { } .

Аксиома 1: пустое множество, обозначаемое { } или Ø, имеет свойства:

1) { } А ≠ Ø (пустое множество есть подмножество всякого не пустого множества);

2) {Ø} ≠ Ø, (множество, состоящее хотя бы из одного элемента Ø, не является пустым).

Пространство – это множество всех элементов, которые могут встретиться в нашем исследовании.

Универсальное множество (полное пространство) будем записывать следующим образом: где i - есть подмножество элементов, .

Множество действительных чисел будем обозначать как .

Характеристическая функция множества А:

(1.2)

Степенное множество: 2^X, есть множество всех подмножеств универсального множества X. Например, если X = {x₁, x₂, x₃}, то

2^X= {{x₁}, {x₂}, {x₃}, {x₁,x₂}, {x₁, x₃}, {x₂,x₃}, {x₁,x₂,x₃}}.

Множества типизированы как счетные и несчетные, конечные и бесконечные.

Аксиома 2: множество натуральных чисел является счетным и называется аксиоматическим эталоном.

Счетность некоторого множества определяется путем установления его взаимного и однозначного соответствия с эталоном, а при нарушении этого соответствия – множество будет несчетным.

Конечность некоторого множества определяется по его конечной мощности. Установление бесконечности требует привлечения теории Г. Кантора [1].