Перечень базовых операций над множествами

1. Дополнение А. Если X={x₁, x₂, x₃} и A={x₁, x₂}, то А={x₃};

2. Разность А\В. Если A={x₁, x₂} и B={x₂, x₃}, то А\В = {x₁};

3. Пересечение (произведение) если и , то ;

4. Объединение (сумма) если и , то .

На универсальном множестве X= { } любое множество А можно записать так:

, (1.3)

где принимает все значения из подмножества множества натуральных чисел или - множество номеров элементов .

Например: X = { }, при i от 1 до 10 и А = {x₁, x₄, x₆}, можно записать: , где принимает значения 1, 4, 6.

Пусть задано универсальное множество, а в нем определено некоторое пространство, в котором имеется класс множеств.

Аксиома 3: класс множества пространства называется аддитивным, если:

a) всё пространство принадлежит классу;

b) все последовательности вложенных множеств из этого класса, их сумма и произведение принадлежат классу;

c) для множества и его подмножества из этого класса, и их разность - принадлежат классу.

Таким ообразом, признак аддитивности класса: счетное число операций сложения, умножения и вычитания над элементами этого класса, дают результат в том же классе. Например, если пространство равно {x₁,x₂}, то класс всех его возможных подмножеств есть множество подмножеств {{x₁}, {x₂}, {x₁,x₂}} или степенное множество в данном пространстве.

Проверим аддитивность этого класса. В соответствии с аксиомой 3, проверяем условия:

a) в классе множества {{x1}, {x2}, {x1, x2}}имеется элемент {x1, x2} равный пространству {x₁,x₂}, поэтому оно принадлежит классу {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}};

б) в классе {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} имеются две последовательности вложенных множеств: {x₁} {x₁, x₂}, {x₂} {x₁, x₂}, в каждой из них сумма и произведение множеств дают результат в том же классе;

в) в классе {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса - {x₁, x₂} {x₁}, {x₁, x₂} {x₂}; в каждой паре разность множества и подмножества дают результат в том же классе.

Таким образом, условия а), б) и в) справедливы и класс {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} является аддитивным.

На множестве действительных чисел R определим интервалы как подмножество , где r_i и r_j – точная и неточная границы интервала соответственно:

r_i r_j R

Класс всех интервалов на множестве не является аддитивным, т.к. для вложенной последовательности множеств, либо множества и его подмножества, результат суммы, либо разности, не будут принадлежать исходному классу (не выполняется условие б) или в) аксиомы 3.

Например, класс I₁, I₂, I₃ является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности R множеств, сумма которых даст результат в том же классе { }:

I₁ I₂ I₃

не является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности множеств, сумма которых даст результат в том же классе .

Выполним процедуру расширения класса интервалов путём счётного повторения операций сложения, вычитания и умножения над элементами класса до тех пор, пока расширенный класс не будет удовлетворять условиям аддитивности, в соответствии с аксиомой 3. Тогда вся совокупность, полученных при расширении множеств, называется классом борелевских множеств [18]. Такой класс ещё называется борелевским полем множеств, множествами, измеримыми по Борелю или минимальной алгеброй множеств. Будем обозначать этот класс .

Рассмотрим, на примере, получение борелевского класса. Пусть на множестве R задан исходный класс интервалов { }:

I₁ I₂ I₃ R

Выполним процедуру расширения класса { } в класс {R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R₇} следующим образом:

R₁ = I₁

R₂ = I₂

R₃ = I₃

R₄ =

R₅ =

R₆ =

R₇ =

Теперь проверим аддитивность полученного класса.

По аксиоме 3 условия аддитивности следующие:

a) в классе {R₁÷R₇} элементы R₁, R₂ и R₃ равны элементам пространства I₁, I₂, I₃ соответственно. Поэтому всё пространство принадлежит классу

{R₁ R₇};

b) в классе {R₁÷R₇} имеются шесть последовательностей вложенных множеств, каждое из которых сумма и произведение множеств дают результат в том же классе:

R₁ R₆ R₇; R₃ R₆ R₇;

R₁ R₄ R₇; R₂ R₄ R₇;

R₃ R₅ R₇; R₂ R₅ R₇.

Например, R₁ R₆ = R₆.

c) в классе {R₁÷R₇} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса, в каждой паре разность между множеством и подмножеством дает результат в том же классе: R₄ R₁; R₄ R₂; R₅ R₂; R₅ R₃; R₆ R₃; R₇ R₆; R₇ R₄; R₇ R₅; R₇ R₁; R₇ R₂; R₇ R3. Например, R₄ \ R₁ = R_2.

Таким образом, условия аддитивности выполняются и полученный класс – борелевский: В = {R₁÷R₇}.