Свойства случайных погрешностей

Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения Гаусса.

Не надо иронизировать в отношении такого названия – «нормальный закон распределения». Мол, если есть «нормальный закон», то должен быть и «ненормальный закон». Последних нет. Есть множество законов распределения, которые отличаются своими параметрами от нормального закона. Просто исследованиями установлено, что отклонения результатов измерений от истинного значения подчиняются в своей группе нормальному закону распределения Гаусса. И не только отклонения результатов измерений подчиняются этому закону, но и распределение самих результатов также, как говорят, нормальное.

Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерения х_i одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х:

. (3.3)

На основании теоретических иследований и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей, подчиняющихся нормальному закону распределения, являющемуся симметричным.

Свойство 1. При многократном (бесконечно большом числе измерений) выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку.

То есть, если была получена погрешность «- 0,085 м», то следует ожидать с той же вероятностью и погрешности «+ 0,085 м». Пусть даже это и произойдёт не тут же, но обязательно произойдёт в какое-то время.

Свойство 2. При большом числе измерений малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.

То есть, более всего ожидается результат измерений, близкий к истинному его значению.

Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела:

. (3.4)

То есть, совокупность действия различных факторов, если условия измерений неизменны, не приведет к значительному уклонению результата измерений от его истинного значения.

С математической точки зрения это не совсем правильно, потому что нормальный закон распределения имеет бесконечные пределы в ту и другую стороны. То есть математики могут ожидать появление случайной погрешности, равной весьма большому числу, даже почти бесконечности. Пусть и вероятность этого почти равна нулю, но, всё же, не нулю. А с практической точки зрения целесообразно ввести ограничение на предельное значение случайной погрешности.

Если же это случится, т.е. появится результат, погрешность которого будет больше предельной, то следует считать это измерение содержащим грубую погрешность, исключить его из ряда измерений и заменить это измерение новым измерением.

Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, т.е.

(при n → ∞). (3.5)

Здесь и в дальнейшем квадратные скобки [...] являются символом суммы (символ введен Гауссом).

При большом числе измерений это вытекает из свойства 1 в силу симметрии нормального закона распределения (свойство компенсации).