Среднее арифметическое

В теории измерений и в практике обработки результатов измерений используются различные средние. Об одной из таких средних, средней арифметической, уже неоднократно упоминалось раньше. Часто используют в исследованиях среднее квадратическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и др. Нас, в данном случае, будет интересовать только среднее арифметическое.

Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерения х_i и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.3).

Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) на плоскости является эталоном, известной величиной.

В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно её определить?

Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n ® ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.

Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим

. (3.6)

В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [D]/ n стремится к нулю при n ® ∞. Отношение [ х ]/ n = х_о называется средним арифметическим из результатов измерений.

С учетом сказанного можно записать, что

( ® Х) _{n ® ∞}, (3.7)

т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при большом числе измерений стремится к истинному значению измеряемой величины. Это очень важное свойство многократных измерений, ряд которых подчиняется нормальному закону распределения.

Как просто! Чтобы получить истинное значение надо только выполнить большое число измерений, лучше всего – бесконечное их число. Но такой возможности, к сожалению, нет, поскольку большое число измерений (избыточных) приводит к большим затратам времени и большим экономическим затратам.

Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надёжности, зависящей от числа измерений, можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонениями результатов измерений от среднего арифметического:

v_i = х_i - x_о. (3.8)

В теории погрешностей измерений доказано, что если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то и ряд уклонений v_i от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.