Измеренных величин

В § 22 рассмотрены средние квадратические погрешности, будем считать, непосредственно измеренных величин. Чаще всего сами непосредственно измеренные величины используются в различных формулах, результатом вычисления по которым являются косвенные величины. Например, площадь прямоугольника, как косвенная величина, может быть определена как произведение длин сторон прямоугольника, полученных при измерениях непосредственно. Оценку точности площади в этом случае необходимо производить с учетом погрешностей в измерениях его сторон.

Предположим, что имеется функция F аргументов х₁, х₂,..., х_n:

F = f (x₁, х₂, …, х_n). (3.16)

Величины х_i известны из непосредственных измерений, а также известны и их СКП: m₁, m₂,..., m_n. В этом случае СКП функции определяется по следующей формуле:

, (3.17)

где (∂f/∂х_i) - частная производная функции по аргументу х_i.

Вполне вероятно, что вам ещё неизвестно, что такое частная производная. Все просто. Что такое производная Вы знаете, как находят производную функции по одному аргументу Вы тоже знаете. А вот частная производная, если аргументов много, находится отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами.

Правила определения СКП функций следующие.

1. Выполнить последовательно дифференцирование функции отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами (коэффициентами).

2. Полученные выражения умножить на СКП аргументов, по которым производилось дифференцирование функции и возвести полученные выражения каждое отдельно в квадрат.

3. Записать полученные выражения в виде суммы под знаком квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров определения СКП функций.

Пример 3.1. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического.

Очевидно, что значение среднего арифметического является функцией суммы измеренных величин х_i (3.6). Представим это выражение в виде

х_о = (х₁ + х₂ + … + х_n) / n. (3.18)

Поскольку 1/n является постоянным коэффициентом, то при почленном дифференцировании и после умножения на m_i и возведения в квадрат пролучим:

, (3.19)

или

. (3.20)

Полагая измерения равноточными, т.е. m₁ = m₂ =... = m_n = m, выражение (3.20) преобразуем к виду

. (3.21)

Таким образом, СКП среднего арифметического в корень из числа измерений меньше СКП одного измерения.

С учетом (3.10)

. (3.22)

Очевидно, что, если при увеличении числа измерений значение СКП одного измерения стремится к предельному значению, отличному от нуля, то значение СКП среднего арифметического стремится при увеличении числа измерений к нулю, а само среднее арифметическое – к истинному значению.

Пример 3.2. Объём пирамиды, основанием которой является прямоугольник, определён по формуле

, (3.23)

где h – высота пирамиды, а и b – стороны основания.

Требуется определить СКП объёма пирамиды, вычисленного по формуле (3.23), если известно, что h = 12 м, а = 23 м, b = 40 м, их СКО равны соответственно: m_h = 0,06 м, m_a = 0,02 м, m_b = 0,05 м.