Решение. Точки А и В (гора). Точка А находится на горизонтали

Точки А и В (гора). Точка А находится на горизонтали. В соответствии с указанной высотой сечения рельефа (1 м) высота соседней с вершиной горы горизонтали, кратная 1 м, составит 123 м. Следовательно, Н_А = 123 м.

Точка В «на глаз» находится посредине между горизонталями 121 и 122 м, считая их высоты вниз от горизонтали 123 м. Значит Н_В = 121,5 м.

Точка С (котловина). Здесь нам известна высота горизонтали и направление к понижению – в сторону дна котловины. Это определяется по указанию бергштрихов и дополнительно подписью горизонтали (основание подписи ориентировано в сторону понижения рельефа).

Определим высоту точки С интерполированием заложения а = n + m.

Точка С находится между горизонталями 130 и 140 м (при высоте сечения рельефа 10 м). Предположим, что а = 11,6 мм, n = 3,9 мм, m = 7,7 мм. Из пропорции найдем превышения

м и м

точки С относительно соседних горизонталей. Высота точки С определится как Н_С = 140 – –3,4 = 130 + 6,6 = 136,6 м.

Чаще всего высоты точек по карте определяют оценкой их положения относительно горизонталей «на глаз». Это связано с тем, что ошибка построения горизонталей на карте составляет примерно 1/3 – 1/4 от высоты сечения рельефа, а ошибка оценки «на глаз» положения точки значительно меньше, порядка 1/10 от величины заложения.

Точка D (хребет). На этом фрагменте имеется подписанная высота точки местности (101,5 м). Учитывая высоту сечения рельефа (2 м), соседние с точкой 101,5 м горизонтали имеют высоты 100 и 102 м (повышение рельефа в сторону точки D). Точка D находится между горизонталью 104 м и полугоризонталью 103 м, ближе к основной горизонтали. Оценкой «на глаз» Н_D = 104 – 0,33 = 103,67 м = 103,7 м.

Точка Е (лощина). При высоте сечения рельефа 2,5 м точка Е находится между горизонталями 175 и 172,5 м, посредине между ними. Таким образом, Н_Е = 175,00 – 1,25 = =173,75 м.

Точки F и G (седловина). При высоте сечения рельефа 5 м соседняя с вершиной горы горизонталь, кратная 5 м, имеет высоту 65 м.

Переместимся в точку седловины. Первые по основанию гор горизонтали, находящиеся выше точки седловины, имеют высоту 55 м. Точка F находится «на глаз» на 1,5 м выше горизонтали 55 м, т.е. Н_F = 56,5 м. Точка G находится «на глаз» посредине между горизонталями 40 и 45 м, значит Н_G = 42,5 м.

17.6. Построение профиля

«И в тетради в линейку косую

Без конца я твой профиль рисую…»

(Тоже из известной песни)

Можно совместить эти две разные задачи – построение одного и другого профилей. Но не очень увлекаться одним из них в ущерб второму. Каждому профилю – своё время. Почти по Екклесиасту-проповеднику: есть время строить профиль, и есть время его использовать; есть время рисовать профиль, и есть время любоваться нарисованным.

Может быть то, о чём дальше будет рассказано, не очень увлекательная задача. И даже без таких сомнений. Но построение профиля – работа весьма и весьма часто выполняемая при строительстве линейных сооружений (автомобильных дорог, железных дорог, трубопроводов и т.п.), в геологии, в маркшейдерском деле и др.

Профиль – это вертикальный разрез рельефа местности по заданному направлению. Получается, как это определено для одного из значений слова профиль в «Словаре русского языка», вид сбоку.

Топографические профили местности используются для решения большого числа различных инженерных задач: при составлении предварительных проектов строительства инженерных сооружений линейного типа, при составлении геологических разрезов, при определении на местности линий видимости между выбранными точками, для составления описания рельефа по выбранному маршруту и др.

Пример построения профиля по направлению АВ показан на рис. 2.36 при высоте сечения рельефа, равной 5 м (карта масштаба 1:25000).

Далее, в качестве примера, приводится последовательность построения профиля местности.

1. Провести на карте карандашом линию АВ, направление которой определяет решение той или иной специальной задачи.

2. Оценить максимальную и минимальную высоту по линии профиля. Оценку можно выполнять с запасом на высоту сечения рельефа.

Н_max ~ 85 м; Н_min ~ 60 м.

3. Задать горизонтальный и вертикальный масштабы профиля.

Горизонтальной линией профиля является ось расстояний, вертикальной линией – ось высот. Масштабы профиля, построенного по топографической карте, по высоте и расстояниям различные. Обычно горизонтальный масштаб профиля равен масштабу топографической карты, с помощью которой он строится, а вертикальный масштаб принимают в 10 раз крупнее горизонтального. Например, масштаб карты 1:50000. Следовательно, горизонтальный масштаб профиля равен 1:50000, а вертикальный масштаб – 1:5000. В некоторых случаях, для большей наглядности, применяют более крупные масштабы высот либо укрупняют и горизонтальный масштаб. При этом для основания масштаба рекомендуется выбирать числа: 1; 2; 2,5; 5 (1:1000, 1:200, 1:50 и т.п.).

В примере горизонтальный масштаб 1:25000 (в 1 см 250 м). По правилам, которые применяются, например, в геологии, вертикальный масштаб должен быть 1:2500 (в 1 см 25 м). Но мы примем в нашем случае для наглядности вертикальный масштаб 1:500 (в 1 см 5 м).

4. Построить оси координат профиля и оцифровать их в соответствии с выбранными горизонтальным и вертикальным масштабами. При этом горизонтальный масштаб не оцифровывается, а в выбранном масштабе изображается длина всего профиля.

5. Указать высоту условного горизонта.

Условный горизонт (УГ) – это линия, абсолютная высота которой на графике профиля подбирается так, чтобы между нижней точкой профиля и линией условного горизонта оставалось место для нанесения другой информации, в отношении которой строится сам профиль.

Рис. 2.36. Построение профиля местности по карте.

Условный горизонт УГ = 55 м.

Как Вы видите, подбор условного горизонта здесь оказался не совсем удачным. Маловато места осталось для построения какой-либо другой информации, особенно в нижней части профиля. Но это сделано только для уменьшения размера рисунка, а не как рекомендация к построению такого изображения.

6. Отложить на горизонтальной линии отрезки, соответствующие пересечениям горизонталей с линией профиля, а также точек пересечения линии профиля с объектами ситуации (дорогами, линиями связи, объектами гидрографии, границами лесов и т.п.).

7. Нанести отмеченные точки на чертеже в соответствии с их абсолютными высотами. Полученные точки соединить плавной линией.

В некоторых случаях на линии профиля можно определить высоты дополнительных точек. Если, например, точка находится между горизонталями, то ее высоту легко найти интерполированием заложения, как это пояснялось в разделе 17.5:

Н_i = Н_Г ± ( Δ h) m/а, (2.22)

где Н_Г – высота горизонтали; а – заложение; m – расстояние от горизонтали до точки линии профиля. То есть указанная задача решается аналогично определению высоты точки С (см. пример в предыдущем разделе).

При пересечении лощины (хребта) дополнительную точку определяют на линии водослива (водораздела) также методом интерполирования.

При пересечении седловины для точки седловины принимают, что она находится на половине высоты сечения рельефа от ближайшей к ней горизонтали.

Предварительно находят высоты точек А и В по правилам, приведенным выше. В примере высоты указанных точек оценим «на глаз»: Н_А = 71,5 м; Н_В = 67,0 м.

Для точки 16, находящейся на линии водораздела (на хребте), определение высоты связано с построением однородного отрезка – сечения 16-16. В этом случае превышение точки пересечения линии АВ с сечением 16-16 по отношению к горизонтали 60 определится из пропорции:

м,

где 5 м – высота сечения рельефа; 9,0 мм – заложение по сечению 16-16; 6,8 мм – расстояние по сечению 16-16 до линии АВ.

Таким образом, высота искомой точки 16 на профиле будет равна Н ₁₆ = =60,0 м + 3,8 м = 63,8 м.

Точно также можно определить указанную высоту и через другой отрезок сечения 16-16. Только в этом случае высота искомой точки 16 будет определяться через высоту горизонтали 65 м вычитанием полученной соответствующей величины м (65,0 – 1,2 = 63,8 м).

Аналогично определены высоты точек профиля по сечениям 17-17 (61,7 м), 18-18 (84,0 м) и 19-19 (59,1 м).

Если высоты точек профиля определяют дополнительно, то их значения записывают в скобках непосредственно на чертеже.

В случаях, когда высота точки не может быть определена, точки с известными высотами соединяют на профиле линией сопряжения, характеризующей форму рельефа в данном месте. Такая линия сопряжения построена между точками 2 и 3 профиля.

8. В сетке профиля выделить «на глаз» однородные склоны и вычислить для них уклоны.

Здесь следует немного остановиться, чтобы выяснить, что такое уклон?

Углом наклона ν является угол в вертикальной плоскости между плоскостью горизонта и направлением на данную точку либо направлением линии ската или заложения в выбранном месте рельефа.

Тангенс угла наклона называется уклоном i

tg ν = i. (2.23)

Величина заложения а связана с углом наклона соотношением

а= Δ h ctg ν, (2.24)

где Δ h, как Вам уже известно, – высота сечения рельефа.

В правом нижнем углу топографической карты приводят график заложений, построенный с использованием формулы (2.24) для установленной для данной карты высоты сечения рельефа. Если на карте используется два значения высоты сечения рельефа, то и график заложений на такой карте строят двойной, для соответствующих высот сечения рельефа.

Для однородной линии тангенс угла наклона равен отношению превышения h крайних точек отрезка к горизонтальному проложению d между ними, т.е

tg ν = h/d. (2.25)

В частном случае, для определения уклона местности между соседними сплошными горизонталями по заложению между ними можно записать, что

ν = arctg (Δ h / а). (2.26)

Значения уклонов задают разными способами. Простым значением тангенса угла наклона (0,0124, 0,005 и т.п.). Для сокращения записи значения уклона часто записывают его увеличенными на 1000 (0,002 → 2; 0,0236 → 23,6 и т.п.), при этом при произношении величины уклона обязательно добавляют слово «тысячных». Часто величину уклона указывают в процентах.

На профилях обычно величину уклона вычисляют до целой тысячной.

Теперь можно перейти к вычислению уклонов по линии АВ.

Для первого отрезка однородной линии профиля А-2 горизонтальное проложение равно 250 м, превышение точки 2 относительно точки А положительное (в строке «Уклоны» это отмечено соответствующим наклоном) 80,0 – 71,5 = +8,5 м. Уклон линии равен +8,5/250 = + 0,034 = 34 тысячных.

Знак «плюс» в сетке профиля не записывается, а указывается графически в виде подъема при движении от точки А к точке В.

Например, для однородного отрезка 3-7, имеющего горизонтальное проложение 450 м, превышение отрицательное, 60 – 80 = –20 м. Уклон будет равен –20/450 = – 0,0444 = – 44 тысячных.

Знак «минус» в сетке профиля не записывается, а указывается графически в виде спуска при движении от точки А к точке В.

Аналогично определены уклоны и для остальных однородных отрезков: 17-12 (27 тысячных) и 13- В (24 тысячных).

Характерными точками рельефа и ситуации на линиях профилей являются точки перегибов рельефа, линии водоразделов и водосливов (тальвеги), седловины, вершины гор (холмов), дна котловин (ям), пересечения с объектами линейного типа, гидрографией, а также и другие точки, представляющие интерес для исполнителя. Часто на разрезах (профилях) указывают границы пересечения линии АВ с площадными объектами, например, лесом, озером и т.п. Если линия профиля пересекает объект, имеющий название, например, река Токай, то и на профиле подписывают это название.

17.7. Построение линии заданного уклона

Как следует из формулы (2.24), увеличение угла наклона или уклона соответствует уменьшению величины заложения. И наоборот.

Значению предельного уклона i_пред соответствует и предельное значение угла наклона ν_пред, а значит и предельная величина заложения а_пред. Таким образом, при построении линии заданного уклона следует выбирать те направления на местности, по которым величина уклона не будет больше предельного либо величина заложения не будет меньше предельного его значения.

Рис. 2.37. Построение на карте линии заданного уклона.

Обычно решают задачу построения линии заданного предельного (возможного максимального) уклона (угла наклона).

Порядок построения линии с заданным значением предельного уклона следующий (рис. 2.37).

Предположим, что необходимо построить на карте линию АВ со значением предельного уклона i = 0,026 (ν = 1,5^о), соответствующего предельному значению заложения, показанного на рисунке. От точки А до точки 1 движение выполняется по линии АВ. Далее руч. Гремячий пересекается под прямым углом к линии водотока до точки 2. От точки 2 перемещение к точке В может осуществиться по двум вариантам (1 и 2). Здесь очевидно, что вариант 1 является оптимальным, исходя из длины общей линии АВ. Однако следует иметь в виду, что при оценке экономической целесообразности оптимальным может оказаться и второй вариант. Например, при изысканиях линейных сооружений (дорог, линий связи и т.п.) более выгодным может оказаться путь в обход лесного массива.

Возможны и другие варианты, например, вариант 3. Однако при постановке задачи проектирования кратчайшего расстояния этот вариант отпадает.

17.8. Построение границы водосборного бассейна и зоны затопления

Определение границы водосборного бассейна

Водосборный бассейн представляет собой ту часть земной поверхности, с которой вода, поступающая из атмосферы, стекает по склонам неровностей и собирается затем в одной точке водотока (лощины, оврага, реки и т.п.). При этом примем, что поступающая из атмосферы вода не будет поглощаться грунтом, а будет эвакуироваться по поверхности земли.

Рис. 2.38. Построение водосборного бассейна и зоны затопления.

На самом деле это не совсем так. Во-первых, часть атмосферной влаги может непосредственно перемещаться по поверхности земли к водотокам, если интенсивность поступления влаги высокая. Во-вторых, часть влаги впитывается в верхний растительный покров и эвакуируется, теперь уже медленно, по поверхности водоупорного грунта тоже в сторону водотока.

Границами водосборного бассейна являются линии водоразделов.

Для построения границы водосборного бассейна необходимо от заданной точки водотока А (рис. 2.38) подняться по линиям, перпендикулярным к горизонталям, до ближайшей водораздельной линии. Далее граница продолжается непосредственно по линиям водоразделов до их замыкания.

Используют границы водосборных бассейнов для последующего определения площади бассейна, необходимой при расчетах возможных притоков воды к отверстиям водопропускных систем под дорогами, при проектировании аэродромов и в других случаях.

Водораздельные линии строят также перпендикулярно к горизонталям по хребтам через вершины гор и точки седловин.

Построение зоны затопления

Указанную задачу решают при проектировании плотин либо других гидротехнических сооружений, представляющих собой препятствие для свободного тока воды.

Для построения зоны затопления исходной величиной является абсолютная высота плотины или подпорного сооружения, а также положение самой плотины 1-2 на местности. Абсолютная высота плотины задает абсолютную высоту горизонтали (рис. 2.38), которую сравнительно легко провести между горизонталями, имеющимися на карте.

Граница зоны затопления показывает на карте местность, покрывающуюся водой после строительства плотины, что необходимо для принятия соответствующих предупредительных мер. Кроме того, использование горизонталей карты и отметки водного зеркала позволяет решить задачу о ёмкости водохранилища.

17.9. Определение площадей на топографических картах и планах

Существует несколько способов определения площадей: аналитический, графический и механический.

Аналитический метод

Данный метод заключается в определении площади земельного участка по результатам непосредственных или косвенных измерений линий, углов. Если площади земельных участков представляют собой простые геометрические фигуры (треугольники, многоугольники и т.п.), то их площадь определяют аналитически по размерам сторон треугольников, на которые следует разбить более сложные геометрические фигуры. В этом случае, если известны, например, измерены, основания а_i и высоты h_i, то площадь S многоугольника определяется как сумма площадей нескольких треугольников (рис. 2.39 б):

. (2.27)

Если в треугольнике известны все стороны a, b и с, то для вычисления площади можно воспользоваться другой формулой

, (2.28)

где Р – полупериметр треугольника.

Если в треугольнике известны две стороны а и b и угол между ними b, то площадь находится по формуле

. (2.29)

Площадь треугольника может быть найдена также и по известной стороне а и двум прилежащим к ней углам a и b:

. (2.30)

Если известны прямоугольные координаты вершин многоугольника (рис. 2.39 а), то значение его площади может быть получено по формуле:

(2.31)

или

. (2.32)

Рис. 2.39. Аналитичесий (а) и графический (б) способы определения площади многоугольника.

То есть удвоенная площадь полигона равна сумме произведений абсциссы (ординаты) каждой из точек на разность ординат последующей и предыдущей (абсцисс последующей и предыдущей) точек. Для этого следует установить направление обхода (по часовой или против часовой стрелки) и установить для каждой из точек последующую и предыдущую относительно неё точку.

В зависимости от направления обхода значение площади может получиться со знаком минус. В связи с этим значение площади всегда надо брать по абсолютной величине. Только значение площади, а не промежуточный результат.

Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин следует выполнять для контроля по формулам (2.31) и (2.32).

Пример 2.16. Определение площади полигона по координатам его вершин.

Исходные данные