Контрольная работа №3

Задание 1. Дана функция z=f(x;y). Показать, что F(x; y; z; ) .

№201. ,

№202.

№203. ,

№204. ,

№205. ,

№206. ,

№207. ,

№208. ,

№209. ,

№210. ,

Задание 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

№211. ;

№212. ;

№213. ,

№214.

№215. ; ,

№216. ,

№217. ,

№218. ; ,

№219. ; ,

№220. ; ,

Задание 3. Даны функция , точка и вектор .

Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

№221. , A(1;1);

№222. , A(-1;2);

№223. , A(1;3);

№224. A(1;1);

№225. A(2;-1);

№226. A(1;2);

№227. A(4;-3);

№228. A(-1;-2);

№229. , A(-5;6);

№230. A(2;3);

Задание 4. Экспериментально получены пять значений функции при пять значениях аргумента, которые записаны в таблице:

x
y	y1	y2	y3	y4	y5

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенную (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

№231. y|| 3,4 | 3,5 | 3,1 | 1,2 | 2,4 |

№232. y|| 0,6 | 1,6 | 3,7 | 5,2 | 6,4 |

№233. y|| 4,7 | 5,5 | 4,0 | 2,1 | 2,7 |

№234. y|| 4,8 | 5,3 | 4,2 | 3,8 | 2,3 |

№235. y|| 3,9 | 5,1 | 3,3 | 1,5 | 2,3 |

№236. y|| 5,7 | 6,7 | 4,9 | 3,4 | 3,9 |

№237. y|| 5,2 | 6,3 | 4,8 | 2,7 | 1,8 |

№238. y|| 5,1 | 4,8 | 5,2 | 2,9 | 2,1 |

№239. y|| 4,5 | 2,5 | 0,5 | 3,5 | 1,6 |

№240. y|| 3,6 | 4,5 | 3,2 | 1,3 | 1,8 |

Задание 5. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

№241. а) ; б) ; в) ; г) .

№242. а) ; б) ; в) ; г) .

№243. а) ; б) ; в) ; г) .

№244. а) ; б) ; в) г)

№245. а) б) ; в) ; г) .

№246. а) ; б) ; в) ; г) .

№247. а) ; б) ; в) ; г) .

№248. а) ; б) ; в) ; г) ;

№249. а) ; б) ; в) ; г) ;

№250. а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 6. Вычислить приближенные значения определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

№251. №255. №259.

№252. №256. №260.

№253. №257.

№254. №258.

Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

№261. №266.

№262. №267.

№263. №268.

№264. №269.

№265. №270.

Задание 8.

№271. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Oy.

№272. Вычислить длину дуги кривой от точки до точки .

№273. Вычислить площадь фигуры, ограниченно линиями, заданными уравнениями , .

№274. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

№275. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ox.

№276. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

№277. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ,

№278. Вычислить длину дуги кривой от точки А(1;0) до точки B(2;1).

№279. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Oy.

№280. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Oy.

Задание № 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

№ 281.

№ 282. (1+ x ) - 2 xy= (1+ x )

№ 283. =

№ 284. x = y ln ()

№ 285. x + x tg

№ 286. + y cos = sin 2x

№ 287. + 2xy = 2xy

№ 288.

№ 289. x + y = 4x

№ 290. - y=

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

№291. (1- x x

№ 292. (1+ ()

№ 293. 1+( )

№ 294. x

№ 295.

№296.

№297.

№298.

№299.

№300.

Задание 11. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям , .

№301. ,

№302. ,

№303. ,

№304. y (0) =0,

№305. , y (0)= 1,

№306. y (0) =0,

№307. y (0) = 1,

№308.

№309.

№310.

Задание 12. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;

2) записать данную систему и её решение в матричной форме.

№311.

№312.

№313.

№314.

№315.

№316.

№317.

№318.

№319.

№320.

Задание 13.

№321. Пуля, двигаясь со скоростью м/с, ударяется о достаточно плотную стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления стены; эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности . Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.

№322. Материальная точка массой г движется прямолинейно. На нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности , и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности . Найти скорость точки через 3 секунды после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.

№323. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью , а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?

№324. Кривая проходит через точку A(2;1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.

№325. Материальная точка массой г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности кг/с. Найти скорость точки через 1с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

№326. Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью кг/ч. На полном ходу её мотор был выключен и через 10 секунд скорость лодки уменьшилась до км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 минуту после остановки мотора.

№327. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точки, проведённой в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.

№328. Кривая проходит через точку A(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

№329. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

№330. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

Содержание и оформление контрольных работ

4.1. Требования к оформлению контрольной работы: в случае рукописного варианта контрольная работа выполняется в тетради (12л.) на обложке необходимо указать № к.р., свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, ФИО, в случае электронного варианта контрольная работа выполняется в текстовом редакторе Word.

4.2. Требования к структуре контрольной работы:

При выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.

В конце работы указывается список использованных источников, ставится число и личная подпись.