Моделювання

Вище було розглянуто підхід до розробки проекту нової рецеп­тури, який полягав у раціональній (обґрунтованій) корекції рецептури-аналога. Таким підходом, як відомо, досить часто користуються на практиці.

Разом з тим завдання розробки проекту нової рецептури може бути сформульовано інакше, значно ширше, а саме: як завдання розробки рецептури такого виробу, який би задовольняв тій або іншій сукупності наперед заданих вимог та умов.

Велика кількість видів сировини, що використовуються у рецептурі, різноманітність їх хімічного складу, показників, яким повинен задовольняти майбутній новий виріб – все це нерідко робить завдання розробки проекту рецептури досить складною. Пошук раціональних розв’язків її неможливо здійснити без застосування кількісних методів. Застосування математичного апарату та ЕОМ вимагає послідовного виконання низки робіт технологічного, математичного, інформаційного, обчислювального і знову технологічного характеру. До найбільш важливих етапів цієї роботи відносяться:

1. Технологічне формулювання завдання вибору рецептури.

2. Розробка математичної моделі завдання вибору оптимальної рецептури.

3. Підготовка необхідних початкових даних.

4. Підготовка відповідного алгоритму та програмного забезпечення на ЕОМ.

5. Здійснення розрахунків на ЕОМ.

6. Технологічний аналіз одержаних результатів та вибір оптимальної рецептури виробу, який задовольняє тим або іншим вимогам та умовам.

Математична модель – це, як відомо, математичний опис процесу або явища, що розглядається, здійснений з використанням математичної символіки. Розробці математичної моделі передує якісний технологічний аналіз досліджуваного процесу, глибоке вивчення його суті. При цьому, по-перше, повинні бути чітко сформульовані технологічні умови і вимоги до виробу, що розробляється; по-друге, повинна бути вибрана так звана цільова функція, яка віддзеркалює прийнятий критерій (мірило) оптимальності рецептури. Перші два етапи роботи мають виключно важливе значення. Від правильності їх виконання залежить вірогідність одержаних результатів.

До математичної моделі належить певна кількість рівнянь та нерівностей, які виражають технологічні умови, обмеження, співвідношення між різними параметрами рецептури та вимоги, яким повинен задовольняти майбутній виріб.

Завдання вибору нових рецептур відносяться до класу так званих екстремальних задач, тобто таких, у яких є максимум або мінімум прийнятої цільової функції.

Зважаючи на відсутність літературних джерел, в яких ці питання були б розглянуто досить детально, сформульований підхід пояснимо на кількох конкретних прикладах.

Нижче розглянемо задачі оптимізації рецептур продукції харчування, яка характеризується заданими властивостями.

Прийняті позначення:

x_i – невідома кількість сировини і-го виду у рецептурі;

a_і – кількість кілокалорій у 1 г сировини і-го виду;

s_і, g_і, U_і – вміст (г) відповідно білку, жиру, вуглеводів у 1 г сировини і-го виду;

К_і, j_і, m_і – вміст (г) відповідно кальцію, фосфору, магнію у 1 г сировини і-го виду;

w_ji – вміст j-ї амінокислоти в 1 г сировини і-го виду;

d_ji – вміст вітамінів j-го виду (В₁, В₂, РР) у 1 г сировини і-го виду;

d_і – сумарний вміст вітамінів групи В у 1 г сировини і-го виду;

l_і – вміст води у 1 г сировини і-го виду;

i_і, h_і – вміст харчових волокон і відповідно b- каротину у 1 г сировини і-го виду;

u_і – коефіцієнт, що характеризує частку твердої частини у 1 г сировини і-го виду;

С_і – ціна 1 г сировини і-го виду;

t_k, t_k – коефіцієнти, які характеризують співвідношення між вмістом білків і жирів та жирів і вуглеводів у рецептурі; к = 1, 2, 3,... (задається як початкова умова);

x_к, e_к, к = 1, 2,... – коефіцієнти, які характеризують необхідне співвідношення між вмістом відповідно кальцію і фосфору та фосфору і магнію у рецептурі (в наборі сировини);

y_jm – коефіцієнт пропорційності зі збалансування вмісту j-ї та m-ї амінокислот;

а_і^’, а_і^” – відповідно мінімально та максимально можлива кількість сировини і-го виду, що використовується у рецептурі;

а₀^’, а₀^” – мінімально та максимально припустимий вміст яєць у рецептурі;

А_к^’, А_к^” – відповідно мінімальна та максимальна сумарна калорійність набору сировини к-го виду;

W_j – мінімально припустимий вміст амінокислоти j-го виду у наборі сировини;

в_к, L_к, Н_к, к = 1, 2,..., - мінімально припустимий вміст відповідно білку, харчових волокон та b- каротину у наборі сировини;

D_j – мінімально припустимий вміст вітамінів j-го виду (В₁, В₂, Р) у наборі сировини;

П_к, к = 1, 2,..., - максимально припустима сумарна вага твердої частини сировини;

Т_к^’, Т_к^”, к = 1, 2,..., - мінімально та максимально припустимий вміст жиру.

Задача оптимізації рецептур млинців

Технологічне формулювання задачі: Необхідно скласти рецептуру млинців, які характеризуються:

а) мінімально можливою калорійністю, або

б) максимально можливим вмістом вітамінів групи В, або

в) мінімально можливою ціною.

При цьому повинні виконуватися такі обмеження та умови:

1. Задані співвідношення за вмістом білків, жирів та вуглеводів у наборі сировини;

2. Обмеження на мінімально припустимий вміст амінокислот у наборі сировини;

3. Обмеження на мінімально припустимий вміст різних видів сировини;

4. Обмеження на максимально припустимий вміст яєць;

5. Сумарна вага сировини для рецептури – 100 г.

Математичне формулювання задачі: Знайти вектор Х = {х₁, х₂,... х_n}, який мінімізує цільову функцію

n

Z = å a_і х_і (min); (5.7)

і = 1

або максимізує функцію

n

Z = å d_і х_і (mах); (5.8)

і = 1

або мінімізує функцію

n

Z = å С_і х_і (min); (5.9)

і = 1

за умови, що величини х₁, х₂,... х_n задовольняють таким системам рівнянь та нерівностей:

n

å х_і = 100; (5.10)

і = 1

- умови з ваги набору сировини з урахуванням води у рецептурі;

n n

å s_і х_і = t_к å g_і х_і; (5.11)

і = 1 і = 1

n n

å g_і х_і = t_к å U_і х_і, к = 1, 2, 3; (5.12)

і = 1 і = 1

- умови збалансованості набору сировини по вмісту білків і жирів та відповідно жирів та вуглеводів;

n

å w_jі х_і ³ W_j, j = 1, 2,...; (5.13)

і = 1

- обмеження за вмістом амінокислоти j-го типу у наборі сировини;

х_і ³ а_і^’; (5.14)

- обмеження на мінімально припустимий вміст сировини і-го виду у рецептурі;

х_яєць £ а₀^”; (5.15)

- обмеження на максимально припустимий вміст яєць у наборі сировини.