Плоское напряжённое состояние в точке и прочность

В некоторой точке упругого тела заданы: компоненты напряжённого состояния s_х, s_у, s_z, t_xy, t_yz, t_zx; расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие R_р , R_с; коэффициент условий работы . Требуется:

1. Написать тензор напряжений.

2. Изобразить напряжённое состояние в виде кубика с указанием координатных осей и напряжений, приложенных к его граням.

3. Вычислить инварианты тензора напряжений J₁, J₂, J₃ и записать характеристическое (кубическое) уравнение.

4. Решить характеристическое уравнение и определить главные напряжения s₁, s₂, s₃ .

5. Выбрать теорию прочности, соответствующую данному материалу, и найти эквивалентное напряжение.

6. Проверить прочность.

Исходные данные

Первое число шифра	sх МПа	sу МПа	sz МПа	txy МПа	txz МПа	tyz МПа
		–10	–20	–25		–35

Второе число шифра	Rр МПа	Rс МПа
			0,8

Решение

1) Тензор напряжений

МПа.

2) Напряжённое состояние в точке.

Показываем элементарный параллеле­пи­пед (кубик) в системе координатных осей x, y, z. При изображении напряжений с помощью стре­лок учитываются их знаки, данные в тензоре напряжений. Визуально невидимые напряжения на гранях не показываются, чтобы не загромождать рисунок. На рисунке относительные толщины линий должны быть следующими: оси – тонкие линии, ребра паралле­лепи­педа – толще, стрелки напряжений – толстые.

3) Инварианты тензора напряжений.

МПа²,

Характеристическое уравнение в общем виде является кубическим

s³ – J₁s² + J₂s – J₃ = 0.

Перепишем его с учётом найденных численных значений инвариантов

s³ – 10s² – 3075s – 0 = 0.

4) Решение характеристического уравнения. Преобразуем его к виду

(s² – 10s – 3075) = 0.

Очевидно, что один из корней уравнения равен нулю, = 0. Остальные два найдутся из квадратного уравнения

s² – 10s – 3075 = 0.

Конкретно

= 5 ± = 5 ± 55,68;

= 5 + 55,68 = 60,68 МПа, = 5 – 55,68 = –50,68 МПа.

Вычисленные корни являются главными напряжениями. Упорядочим их обозначения так, чтобы они располагались в убывающем порядке

.

Отсюда следует

= 60,68 МПа, = 0 МПа, = –50,68 МПа.

Равенство нулю одного из главных напряжений означает, что данное напряжённое состояние является плоским.

5) Эквивалентное напряжение.

Материал, применяемый в данном случае, является пластичным и имеет одинаковые расчётные сопротивления при растяжении и сжатии. Поэтому для определения эквивалентного напряжения наиболее подходящей является теория прочности Хубера-Мизеса (энергетическая теория). Вычисляем по соответствующей формуле

Для материалов с неодинаковыми расчётными сопротивлениями эквивалентное напряжение вычисляется по теории Мора

6) Проверка прочности. Условие прочности имеет вид

s_экв ≤ R_р .

Подставляя числа, получим

96,57 ≤ 125·0,8 = 100.

96,57 МПа ≤ 100 МПа.

Отсюда следует, что прочность в данной точке тела обеспечена.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ