И жёсткость по предельным состояниям

Шарнирно-стержневая система, состоящая из упругих тяг, нагружена сосредоточенной нормативной силой F_н. Предел текучести материала s_т, модуль упругости Е. Коэффициенты надёжности: по нагрузке – g_f, по материалу – g_m, по условию работы – g_c, по ответственности – g_n.

Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить требуемые площади поперечных сечений тяг, вычислить полное перемещение точки приложения силы F по второму предельному состоянию. Изобразить деформированное состояние системы.

Исходные данные

Шифр	Fн кН	l м	a м	sT МПа	Е ГПа
31–6		1,8	1,2			1,2	1,15	0,9	0,95

Решение

Обозначим номера стержней 1, 2, узел В (рис. 1). Расчёты на прочность требуют предварительного определения продольных сил в тягах. Воспользуемся методом сечений и вырежем узел В (рис. 2). Укажем оси х, у.

Расчёты по вычислению перемещения точки В будут проводиться по второму предельному состоянию. Поэтому в качестве нагрузки пока оставим заданную нормативную силу F_н. Покажем на схеме оси x и у, продольные силы N₁, N₂. При этом целесообразно направления сил избрать положительными, т.е. на растяжение. Воспользуемся уравнениями равновесия:

= 0, –N₁ cos 60° – N₂ cos 50° = 0,

= 0, N₁ cos 30° – N₂ cos 40° – F_н = 0.

После подстановки чисел уравнения примут вид

–0,5N₁ – 0,643N₂ = 0, 0,866N₁ – 0,766N₂ = F_н.

Отсюда

N₁ = 17,10 кH, N₂ = –13,30 кH.

Знак минус в ответе означает, что сила N₂ имеет направление, противо­положное изображённому на схеме, и будет сжимающей силой.

Найдены нормативные усилия. Для расчётов на прочность потребуются их расчётные значения и нормативное сопротивление материала. Расчётные значения получим, умножая нормативные величины на коэффициент надёжности по нагрузке:

N_1р = N₁ = 17,10 · 1,2 = 20,52 кН,

N_2р = N₂ = –13,30 · 1,2 = –15,96 кН.

Нормативное сопротивление равно пределу текучести, т.е. R_н = s_T = 320 МПа. Расчётное сопротивление материала вычислим по соответствующей формуле:

Требуемые площади поперечных сечений стержней найдутся из условия прочности. Для первого стержня оно имеет вид:

(1)

где A₁ – искомая площадь сечения. Определим её из (1):

= 58,38 · 10^{-6 м2} = 58,38 мм².

Аналогично вычисляется площадь сечения второго стержня:

= 37,84 · 10^{-6 м2} = 37,84 мм².

Перемещение точки B зависит от деформации тяг. Определим их по формуле закона Гука при нормативных значениях усилий в сечениях стержней:

∆ l = = 0,00264 м = 2,64 мм,

∆a = = –0,00211 м = –2,11 мм.

Выполним геометрические построения, связанные с деформацией стержней и перемещением шарнира В (рис. 3). Продлим прямую вдоль стержня 1 и на ней отложим отрезок ВL, равный удлинению l. Стержень 2 сжимается, поэтому его деформация получена со знаком минус, откладываем Dа в сторону укорочения на самом стержне 2, т.е. в виде отрезка ВK. Шарнир В должен переместиться в точку пересечения дуг, описанных из центров D, С (рис. 1) и проходящих через точки L и K. Поскольку деформации малы,
(в данном случае порядка 2 мм), дуги окружностей заменяем перпендикулярами к стержням, и они пересекаются в точке B'.

Задача далее состоит в том, чтобы найти перемещение BB'. Для её решения из точек B и B' проведём горизонтальную и вертикальную составляющие u и v.

Простые геометрические соображения позволяют записать соотношения:

D l = BL = BH + LH = v cos 30˚ + u sin 30°,

|Da| = KB = BG – KG = v cos 40°– u cos 50°. (2)

Нетрудно заметить, что они образуют линейную алгебраическую систему относительно u и v:

0,866 v + 0,5 u = 2,64, 0,766 v – 0,6428 u = 2,11.

При составлении равенства (2) длина отрезка GA должна иметь положительное значение, поэтому деформация Dа берётся по модулю. Решение системы уравнений даёт

v = 2,92 мм, u = 0,21 мм.

Из прямоугольного треугольника BB'L находим

BB' = = 2,93 мм.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	Fн кН	l м	a м	sТ МПа	Е ГПа
		1,8	1,4			1,1	1,05	0,85	0,90
		1,6	1,2			1,2	1,10	0,90	0,95
		2,6	2,2			1,3	1,12	0,95	1,05
		2,5	2,0			1,4	1,15	1,00	1,10
		2,2	1,8			1,3	1,10	0,90	1,05