Растяжение – сжатие прямолинейного ступенчатого стержня

Прямолинейный упругий ступенчатый стержень нагружен вдоль оси нормативными сосредоточенными силами F_1н, F_2н и равномерно распределённой нагрузкой q_н. Модуль упругости материала Е = 210 ГПа, предел текучести материала s_т.

Вычислить продольную силу N, напряжения в поперечных сечениях s, относительную линейную деформацию e и перемещения u для характерных сечений; построить эпюры N, s, e, u; проверить прочность конструкции по первой группе предельных состояний.

Исходные данные

Шифр	qн кН/м	F1н кН	F2н кН	R МПа			l м	A cм2
31–6					0,95	1,1	1,0	2,0

Расчётная схема и эпюры

Решение

На рисунке показываем координатную ось z-ов с началом на левом конце стержня, направленную вправо. В заделке правого конца возникает опорная реакция R₀. Она единственная, поскольку все силы, приложенные к стержню, направлены вдоль одной прямой, в данном случае вдоль продольной осевой линии стержня. Она войдет в уравнения равновесия, поэтому вычислим её. Направление вправо, показанное на чертеже, выбрано произвольно. Истинное направление будет найдено в ходе вычислений.

Расчёты на первом этапе будем проводить по второй группе предельных состояний, т.е. по нормативным нагрузкам. В целом стержень находится в равновесии. Поэтому система сил, приложенных к нему, включая и опорную реакцию, должна удовлетворять уравнению равновесия

.

Отсюда находим

Знак минус, полученный в ответе, означает, что истинное направление реакции противоположно направлению, выбранному на схеме.

Стержень вдоль длины имеет четыре участка. Обозначим их на расчётной схеме. Для определения продольных сил далее применим метод сечений. С этой целью внутри каждого участка, в произвольном месте, проводим поперечные сечения 1–1, 2–2, 3–3, 4–4. В результате стержень каждый раз разделяется на левую и правую части. Уравнение равновесия любой из них даёт значение продольной силы и её направление. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1 участок z [0; l ]

Возьмём для рассмотрения левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньшее количество сил. Укажем ось z-ов с началом на левом конце и продольную силу N. Её лучше направлять в положительную сторону, что в данном случае означает направление на растяжение, т.е. направо. Удобство такого приёма состоит в том, что при его применении автоматически получается ответ, учитывающий правило знаков для продольной силы.

Составим уравнение равновесия для отсечённой части:

F_1н + N = 0.

Отсюда имеем

N = –F_1н = –16 кН.

Полученный в ответе знак минус означает, что направление продольной силы, показанное на рисунке, не соответствует истинному, т. е. она направлена влево, на сжатие.

Для построения эпюры N проводим её нулевую линию параллельно продольной оси стержня. Полученный результат является постоянной отрицательной величиной. Поэтому на эпюре ей соответствует горизонтальная линия, проведенная ниже нулевой линии на расстоянии, отложенном в выбранном масштабе. Знак минус на таком рисунке указывается в кружочке, сама эпюра штрихуется перпендикулярно нулевой линии, т.е. вертикально. В избранном масштабе штриховые линии изображают значения продольных сил в сечениях. Поэтому штриховать эпюры следует строго вертикально (не горизонтально, не наклонно!).

Теперь найдём нормальные напряжения в сечениях

Здесь при подстановке чисел в формулу следует перейти к единицам измерения в системе СИ:

1 кН = 10³ Н, 1 см² = 10^{-4 м2}.

Перейдём к определению относительных деформаций. По закону Гука

В таком же порядке рассматриваются и другие участки.

2 участок z [0; l ]

Такие же действия, как для первого участка, приведут к следующим результатам:

.

.

Получена линейная функция. Поэтому эпюра будет прямолинейной. Достаточно найти две её точки.

N(0) = –16 кH.

Знак минус означает, что избранное направление стрелки не соответствует действительному, т.е. здесь сила направлена влево, к сечению, на сжатие.

N(l)= –16 + 24·1 = 8 кH.

По полученным двум числам строим эпюру продольной силы для данного участка в виде прямой наклонной линии.

Найдём нормальные напряжения. В общем виде имеем линейную функцию

Определим её значения в двух точках. На левом конце участка

На правом конце

Соответствующие относительные деформации

3 участок z [0; l ]

Здесь целесообразно рассматривать правую отсечённую часть. Ось z-ов направляем произвольно, вправо. Продольную силу N изображаем в виде стрелки, направленной влево, в положительную сторону, т.е. на растяжение.

Знак плюс, полученный здесь, означает, что продольная сила по направлению совпадает с показанным на рисунке, т.е. направлена от сечения, налево, на растяжение.

Получен результат в виде постоянной величины. Поэтому на эпюре будет горизонтальная линия, отложенная от нулевой в том же масштабе, как для предыдущих участков.

Нормальные напряжения в поперечном сечении:

Относительные деформации:

4 участок

Составляем уравнение равновесия и находим про­дольную силу:

Нормальные напряжения:

Соответствующие относительные деформации:

Перейдём к определению перемещений. С этой целью по длине стержня намечаем характерные точки a, b, c, e, f, для которых будем вычислять перемещения.

Они совпадают с границами участков. На втором участке действует распределённая нагрузка. Здесь эпюра перемещений будет криволинейной. Поэтому для её построения нужна ещё одна дополнительная точка. В качестве таковой изберём точку d, где N, , равны нулю. Перемещение в этой точке экстремальное (max или min) для этого участка. Найдём её положение, приравнивая продольную силу к нулю

Отсюда имеем

Теперь можно приступить к непосредственному определению перемещений точек. Точка а закреплена, неподвижна. Поэтому

Перемещение точки b равно удлинению четвёртого участка стержня, т.е.

Перемещение точки c равно сумме деформаций третьего и четвёртого участков

Перемещение u_b уже найдено, поэтому

Перемещение точки d равно сумме

где – удлинение участка cd. На этом участке относительная деформация – переменная величина, поэтому его удлинение равно площади треугольника на эпюре т.е.

Таким образом,

Аналогично определяются перемещения точек e и f:

Прочность конструкции проверяем по первой группе предельных состояний. Условие прочности имеет вид

Максимальное по модулю значение нормального напряжения в сечениях стержня, равное 80 МПа, вычислено по нормативным нагрузкам. Его расчётное значение должно быть определено с учётом коэффициента надёжности по нагрузкам, т.е.

.

Следовательно, условие прочности выполняется. Вывод: прочность конструкции обеспечена.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	q кН/м	F1 кН	F2 кН	R МПа			l м	A cм2
					0,85	1,2	1,0	2,0
					0,90	1,3	1,5	1,8
					0,95	1,1	1,2	1,6
					0,90	1,2	1,8	1,4
					0,85	1,4	1,4	1,9