Определение внутренних сил методом сечений

Для поперечных сечений 1–1, 2–2, 3–3 заданных расчётных схем а, б, в, г определить внутренние силы:

а) продольные силы N;

б) крутящие моменты M_к (или M_z);

в) продольные силы N, поперечные силы Q, изгибающие моменты М_х;

г) продольные силы N, поперечные силы Q_х, Q_у, изгибающие моменты М_х, М_у, крутящие моменты M_к.

Исходные данные

Шифр	а м	м	h м	F кН	M кНм	q кН/м
31–6	1,1	1,5	1,2

Расчётная схема a)Решение

Для определения продольных сил используем метод сечений. Сечения уже проведены. Рассмотрим каждое из них.

Сечение 1–1

Рассматриваем равновесие правой отсечённой части. Рассмотрение левой отсечённой части невыгодно, так как к ней приложена неизвестная и не показанная на чертеже опорная реакция. Показываем координатную ось z-ов и стрелкой неизвестную силу N. Направление стрелки при этом произвольное. Составляем уравнение равновесия для правой части:

.

Отсюда находим

.

Сечение 2–2

Берём правую отсечённую часть и определяем продольную силу:

–N – 3F + F = 0,

N = –2F = –2 · 50 = –100 кН.

Знак минус означает, что действительное направление силы N противоположно показанному на чертеже.

Сечение 3–3

,

.

Расчётная схема б)

Пользуясь методом сечений, находим крутящие моменты в сечениях. Чтобы не определять опорную реакцию в заделке на правом конце стержня, будем рассматривать только левые отсечённые части.

Сечение 1–1

Проводим в произвольном направлении координатную ось z-ов. Пусть она будет направлена вправо. Изображаем в сечении искомый крутящий момент M_к. Его направление при этом будет произвольным. Составим уравнение равновесия для отсечённой час­ти в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси z-ов:

Отсюда находим крутящий момент в сечении:

M_к = M = 40 кНм.

При составлении данного уравнения знак момента принят положительным, если он направлен по часовой стрелке при взгляде справа. Можно принять и обратное правило, по которому такой момент считается отрицательным. Тогда уравнение равновесия имеет вид

Как можно легко убедиться, отсюда получается тот же ответ, т. е. тот же крутящий момент M_к. Следовательно, при составлении уравнения равновесия правило знаков, принимаемое для момента, не влияет на ответ. Поэтому можно принимать любое правило знаков для моментов. Но, разумеется, одно и то же правило должно применяться до конца составления уравнения.

Сечение 2–2

Действуя аналогично предыдущему случаю, имеем

M_к = –2M + M = –M = –40 кНм.

Знак минус в ответе указывает на то, что крутящий момент в сечении, показанный на чертеже, в действительности направлен в противоположную сторону.

Сечение 3–3

М_к = М – 2М + 3М = 2М = 2·40=80 кНм.

Расчётная схема в)

Показываем координатные оси z, y. Положение начала координат при этом не имеет значения. На чертеже указываем опорные реакции R₁, R₂, R₃. Их направления избраны произвольно. Для их вычисления используются уравнения равновесия. Удобно взять в качестве первого из них равенство нулю суммы проекций всех сил на координатную ось у-ов, так как содержит лишь одну неизвестную опорную реакцию R₂:

Далее возьмём равенство нулю суммы моментов относительно точки А, содержащее также одну неизвестную:

При составлении этого уравнения для моментов, направленных по часовой стрелке, принят знак плюс. Отсюда находим

Третье уравнение равновесия даёт:

Приступим к определению внутренних сил в сечениях.

Сечение 1–1

Удобнее рассмотреть левую отсечённую часть. Намечаем оси y, z. Ось х-ов перпендикулярна чертежу и не показана. Отмечаем на рисунке внутренние силы N, Q_y, M_x произвольных направлений. Для их определения используем уравнения равновесия для отсечённой части:

.

Сечение 2–2

Рассматриваем нижнюю отсечённую часть. Показываем оси y, z, внутренние силы N, Q_y, M_x. Определяем внутренние силы:

.

.

.

Сечение 3–3

Теперь выгодно рассмотреть правую отсечённую часть. На схему наносим координатные оси y, z, внутренние силы N, Q_y, M_x.. Используя уравнения равновесия, определяем внутренние силы:

Расчётная схема г)

Показываем координатные оси x, y, z, общие для всей расчётной схемы. В шарнирно-неподвижной опоре возникают три опорные реакции R₁, R₂, R₃. Остальные опоры шарнирно-подвижные, поэтому в них возникает по одной опорной реакции: R₄, R₅, R₆. Направления реакций выбираются произвольно. С целью определения реакций опор составим уравнения равновесия всей системы:

1)

2)

3)

4) ,

5)

6) .

Из 6): .

Пользуясь остальными уравнениями, последовательно получим

Из 2): .

Из 4):

Из 3):

Из 5):

Из 1):

Перейдём к вычислению внутренних сил в сечениях.

Сечение 1–1

Выбираем левую отсечённую часть. Показываем для неё координатные оси и внутренние силы. Их направления произвольные. В отличие от ранее избранных, теперь координатные оси локальные, т.е. свои для данной отсечённой части. С помощью уравнений равновесия находим внутренние силы:

1) , кН.

2) , .

3) .

4) ,

5)

6) .

Сечение 2–2

Производим действия, аналогичные приведенным выше для сечения 1–1, и находим:

1) ,

2)

3)

4) ,

5) ,

6)

Сечение 3–3

Действуя как в предыдущих случаях, получим:

1) ;

2) ;

3)

4) ,

.

5)

6) .

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	а м	l м	h м	F кН	M кНм	q кН/м
	1,2	1,6	1,4
	1,4	1,8	1,6
	1,5	1,9	1,7
	1,6	2,0	1,8
	1,3	1,7	1,5