Геометрические характеристики сечения из прокатных профилей

Задано поперечное сечение стержня, состоящее из трёх элементов. Требуется:

1. Вычислить:

а) общую площадь A;

б) координаты центра тяжести x_С, y_С;

в) осевые и центробежные моменты инерции Jx, Jy, Jxy относительно произвольных осей, проведённых через центр тяжести;

г) значения главных моментов инерции J_max, J_min;

д) углы наклона главных осей инерции a₁, a₂;

е) значения главных радиусов инерции i_max, i_min.

2. Вычертить сечение в масштабе 1:2 с указанием всех размеров, осей, углов, используемых в расчётах или найденных в ходе вычислений.

Сечение

Рис. 1

Исходные данные

Шифр	Лист (мм)	Швеллеры стальные (№)	Уголки неравнополочные (мм)
31–6

Решение

Элементам поперечного сечения присвоим номера, показанные в кружочках: 1 – уголок неравнополочный, 2 – лист, 3 – швеллер.

Наметим центры тяжести для каждого элемента соответственно их номерам: C₁, C₂, C₃. Проведём через них координатные оси, собственные для каждого элемента и обозначим их: x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃. Проведём оси и с произвольно избранным началом координат О_*. Нанесём на чертёж основные размеры.

Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.

1. Уголок неравнополочный . Изобразим его в стандартном положении (рис. 2) и выпишем из таблицы для уголков данные. Площадь сечения А₁ = 12,6 см², осевые моменты инерции J_x = 127 см⁴, J_y = 39,2 см⁴, J_{u min} = 23,4 см⁴, , x₀ = 1,5 см, y₀ = 3,32 см.

Координаты центра тяжести в системе осей :

x₁ = 10 – 3,32 = 6,68 см, y₁ = 14 – 1,5 = 12,5 см.

Стандартное положение уголка по рис. 2 не совпадает с его фактическим положением по рис. 1. Поэтому осевые моменты инерции необходимо записать относительно осей x₁ и y₁:

= 39,2 см⁴, = 127 см⁴.

Центробежный момент инерции уголка необходимо вычислить. Ось u на рис. 2 или та же ось u₁ на рис. 1 являются главной осью уголка с минимальным осевым моментом. Угол наклона такой оси, вообще, вычисляется по формуле

. (1)

При этом, если в результате вычислений получается знак плюс, главная ось будет повернута против часовой стрелки, если знак минус – по часовой стрелке. По рис. 1 ось u₁ повернута на угол по часовой стрелке. Отсюда следует, что угол отрицательный и к табличному значению тангенса следует приписать знак минус. Таким образом, для уголка по рис. 1 формула (1) принимает вид

.

Из неё находим центробежный момент инерции:

Полученный знак минус подтверждается рис. 1, т. е. большая часть уголка расположена во второй и четвёртой четвертях координатной плоскости, дающих отрицательные значения центробежного момента.

2. Лист. При аналогичных обозначениях

, ,

, .

Оси x₂ и y₂ являются осями симметрии, поэтому центробежный момент инерции равен нулю, т.е. = 0.

3. Швеллер № 14. Изобразим его в стандартном положении, и выпишем из таблицы данные:

A₃ = 15,6 см², J_x = 491 см⁴, J_y = 45,4 см⁴, z₀ = 1,67 см.

С учётом того, что положения швеллера по рис. 1 и рис. 3 не совпадают, запишем для осей x₃, y₃ на рис. 1

= 45,4 см⁴, = 491 см⁴.

Кроме того, по этим же рисункам

, .

Ось y₃ является осью симметрии швеллера. Поэтому = 0.

Приступим к непосредственным вычислениям по условию задачи.

Общая площадь сечения

A = A₁ + A₂ + A₃ = 12,6 + 9,8 + 15,6 = 38 см².

Координаты центра тяжести сечения

.

По этим значениям на рис. 1 намечаем точку С и через неё проводим центральные оси x и y.

Расстояния между параллельными вертикальными осями:

_,

,

Расстояния между параллельными горизонтальными осями:

,

,

.

Осевые моменты инерции относительно центральных осей:

Центробежный момент инерции относительно центральных осей:

Главные моменты инерции:

Углы наклона главных осей инерции:

Как и следовало ожидать, главные оси перпендикулярны, т. е.

Главные радиусы инерции:

Сечение в масштабе 1:2 вычерчено (рис. 1) с указанием основных размеров, осей, углов, используемых в расчётах или найденных в ходе вычислений.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	Лист (мм)	Двутавры стальные (№)	Швеллеры стальные (№)	Уголки равнополочные (мм)	Уголки неравнополочные (мм)
	160 6			100 10	110 70 8
	160 8			100 12	125 80 7
	180 4			110 8	140 90 8
	180 6			125 8	140 90 10
	170 5			125 10	125 80 10

Задача 3