Экстремум в экономике

Математические методы широко используются в таких вопросах, как планирование народного хозяйства, организация управления, планирование военных операций и т.д. Задачи управления и планирования обычно сводятся к выбору некоторой системы числовых параметров или функции, обеспечивающих наиболее эффективное достижение поставленной цели (оптимальный план) с учётом ограниченности возможных ресурсов. Слово оптимальный происходит от латинского слова optimum – наилучший.

Для оценки эффективности плана вводится так называемая целевая функция (показатель качества плана), выраженная через характеристики плана и принимающая экстремальные значения (наименьшее или наибольшее значения) для оптимального плана.

Задачи оптимизации бывают линейные и нелинейные.

Нелинейные задачи оптимизации решают методами классического анализа. В научных исследованиях и производственных испытаниях результаты опытов чаще всего изображаются в виде таблиц и графиков. Полученные опытные данные обычно подвергают математической обработке, выражая их с помощью формулы с точностью, не превышающей определённой погрешности. Полученная при этом функция имеет ограничения, отражающие условия производства и особенности динамики процессов. В интересах производства важно знать такие значения независимой переменой, при которых производственная функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

Задача. Решёткой длиной 120 м. нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

Решение: Обозначим через одну из сторон прямоугольной площадки. Тогда другая сторона будет равна

А площадь прямоугольной площадки будет равна

Тогда

;

- точка максимума.

Следовательно, размеры площади должны быть 30 х 60 м, тогда площадь прилегающего участка будет наибольшей, равной 1800 м².