Решение. Последовательно применяя правила дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования

а)

Последовательно применяя правила дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б)

в)

В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

Задача. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции проводим по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на непрерывность.

3. Установить, является ли заданная функция четной, нечетной.

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найти асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему.

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х = 1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (-∞; 1) и (1; +∞).

В точке х = 1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда - четная функция) или (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:

Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

при х = 0 и не существует при х = 1.

Тем самым имеем две критические точки: х₁ = 0 и х ₂ = 1.

Но точка х ₂ = 1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на 3 интервала: , и .

Найдем знак производной в каждом интервале.

В первом и третьем интервалах производная функции отрицательна, следовательно здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает.

При переходе через точку х = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, А (0; -1) – точка минимума.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: при и - не существует при х = 1. Разобьем числовую ось на три интервала: На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах > 0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку , меняет свой знак, поэтому - абсцисса точки перегиба. Следовательно, В точка перегиба графика функции.

6. x = 1 – точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика.

Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами: .

Тогда , .

Значит, прямая у = 0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рисунке

Задача. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л. воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.

Обозначим через а _дм – сторону основания, b _дм – высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна а объем

Отсюда и

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент).

Исследуем функцию S на экстремум.

Найдем первую производную , приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

Отсюда а = 6. (а) > 0 при а > 6, (а) < 0 при а < 6.

Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3.

Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Вопросы для самопроверки