Примеры решения задач. Задача.Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Задача. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы: .

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу- столбец неизвестных х₁, х₂, х₃; Н – матрицу-столбец свободных членов:

с учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

(1)

Если матрица А невырожденная (ее определитель Δ отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А ^-1. Умножить обе части уравнения (1) на А ^-1 слева, получим:

Но А^-1· А = Е, (Е - единичная матрица), а Е · Х = Х, поэтому

(2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А ^-1. Пусть имеем невырожденную матрицу: , тогда где A_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента aij в определитель матрицы А, которое является производным (-1)^i+j на (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i- й строки и j- го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения A_ij элементов матрицы А:

- следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А ^-1.

Тогда

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной