Задача о непрерывном начислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

Очевидно, при р% годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в раз, т.е.

.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а п раз, то при том же ежегодном приросте р%, процент начисления за часть года составит , а размер вклада за t лет при nt начислениях составит

.

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n = 2), ежеквартально (n = 4), ежемесячно (n = 12), каждый день (n = 365), каждый час (n = 8760) и т.д., непрерывно . Тогда размер вклада за t лет составит

или с учетом второго замечательного предела .

Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p>0) или убывания (при p<0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Чтобы почувствовать результаты расчетов по предыдущим формулам, в таблице приводятся размеры вкладов (найденные при ден.ед., , лет).

Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (n = 1), при одной и той же процентной ставке оказалась незначительной (около 2,5%).

З а м е ч а н и е. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.