Веса результатов измерений

До сих пор рассматривали так называемые равноточные измерения, то есть измерения, произведенные с одинаковой точностью (одним наблюдателем, одним и тем же прибором, одним и тем же методом измерения, при одних и тех же внешних условиях). Однако в геодезической практике часто возникает необходимость производить математическую обработку совокупности неравноточных измерений. Применять к ним ранее рассмотренные формулы арифметической средины или средних квадратических погрешностей нельзя. Это утверждение хорошо иллюстрируется таким примером.

Пусть один и тот же угол измерен тремя наблюдателями одним и тем же прибором, но первый получил результат как среднее арифметическое на двух измерений угла, второй из трех измерений и третий из четырех. Каково будет вероятнейшее значение угла? Взять за вероятнейшее значение как среднее арифметическое из трех результатов угла нельзя. Первый результат в данном случае будет грубее остальных, а третий результат, наоборот, точнее первых двух. Следовательно, можно сказать, что второму результату доверяем больше, чем первому, а третьему – больше, чем первому и второму. Вот эту степень доверия к результату измерений в теории погрешностей, как отмечалось выше, и принято называть весом Р измерения и выражать соответствующими числами.

Если сказать, что какой-нибудь результат измерений имеет вес Р₁ = 5, а другой – Р₂ = 10, то это означает, что второй результат точнее первого в 2 раза.

Очевидно, что вес будет обратно пропорционален средней квадратической погрешности. Чтобы усилить различие между весами более точных и менее точных измерений, принято веса измерений считать обратно пропорциональным квадратам средних квадратических погрешностей

, , ,..., , (55)

где l - некоторый коэффициент пропорциональности, выбранный при обработке данной совокупности измерений таким, чтобы веса по возможности выражались целыми числами.

Пример. Пусть два угла измерены со средними квадратическими погрешностями m₁ = ± 0,4¢ и m₂ = ± 0,6¢. Необходимо определить их веса Р₁ и Р₂.

,

.

Приняв , получим , .

Умножая веса на 36, получим Р₁ = 9, Р₂ = 4.

Таким образом, веса результатов измерений можно умножать и делить на одно и то же число. От этого соотношение весов не изменяется.

Пример. Найти веса углов, если их средние квадратические погрешности соответственно равны: m₁ = ± 2¢, m₁ = ± 8¢.

В соответствии с выражением (55) запишем

и .

Разделив первое равенство на второе, получив

, (56)

то есть соотношение весов измерений обратно пропорционально соотношению квадратов средних квадратических погрешностей этих измерений.

Подставляя значение m в выражение (56), получим

.

Отношение Р₁: Р₂ может равняться 16, когда Р₁ = 16, а Р₂ = 1, или когда Р₁ = 1, а Р₂ = 1/16, то есть веса измерений есть числа относительные.

Вес арифметический средины. Как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна (44)

,

где m₁ – средняя квадратическая погрешность отдельного результата равноточных измерений.

Обозначим вес отдельного результата через р, а вес арифметической средины через Р. Тогда по соотношению (56) будем иметь

.

Если вес р отдельного результата измерений принять равным единице, то вес Р арифметической средины будет равен n, то есть числу измерений. Другими словами, вес Р арифметической средины в n раз больше веса р отдельного результата измерений

Р = [р]. (57)