На основе регрессионных эконометрических моделей

Вопросы построения и использования эконометрических моделей рассмотрим более подробно на примере линейных регрессионных моделей как в случае парной регрессии (однофакторная модель), так и в случае множественной регрессии (многофакторная модель). Будем рассматривать модели множественной регрессии на примере линейной двухфакторной модели.

Основу математического аппарата для рассматриваемых моделей составляют такие разделы математической статистики, как корреляционный и регрессионный анализ. Для определенности эндогенные переменные в этих моделях будем называть результативными признаками и обозначать их, как и ранее, буквой у, а экзогенные переменные будем называть факторными признаками и обозначать их буквой х. Методы корреляционно-регрессионного анализа позволяют решать три основные задачи: определение формы связи между результативным и факторными признаками, измерение тесноты связи между ними, анализ влияния отдельных факторных признаков. Рассмотрим решение этих задач для указанных видов эконометрических моделей; при этом для наглядности будем иллюстрировать выводы на конкретном примере экономического анализа.

Пример 6.1. В табл. 6.1 представлены статистические данные о расходах на питание y, душевом доходе (x₁) и средний размер семьи (x₂) для девяти групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода и размера семьи, т.е. построить модель =f(x₁,x₂).

Расходы на питание будем считать результативным признаком, который обозначим у, тогда два других фактора будут независимыми признаками, или факторами, и мы их обозначим соответственно, x₁ и х₂.

Таблица 6.1. Исходные данные для построения эконометрической модели

Номер группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (x1)	Размер семей (х2)
			1,5
			2,1
			2,7
			3,2
			3,4
			3,6
			3,7
			4,0
			3,7

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (x₁). Она выражается линейной функцией вида

,

(6.2)

параметры которой а₀ и а₁ находятся в результате решения системы уравнений, формирующейся, как уже отмечалось в анализе временного ряда, на основе метода наименьших квадратов.

Система уравнений для рассматриваемого случая имеет вид

(6.3)

где суммирование проводится по всем n группам.

Используя данные табл. 6.1, получим систему уравнений

решением которой являются значения а₀=549,68 и а₁=0,1257. Таким образом, модель имеет вид

= 549,68 + 0,1257x1.

(6.4)

Уравнение (6.4) называется уравнением регрессии, коэффициент a₁ – коэффициентом регрессии. Направление связи между у и x₁ определяет знак коэффициента регрессии a₁; в нашем случае данная связь является прямой. Тесноту этой связи для однофакторной модели можно охарактеризовать коэффициентом корреляции

.

(6.5)

Здесь Sy – среднеквадратическое отклонение выборки у из табл.6.1:

,

(6.6)

–среднеарифметическое значение;

–среднеквадратическое отклонение уравнения (6.4) (СКО адекватности модели) для числа степеней свободы n - 2:

,

(6.7)

–соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (6.4).

В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам от 1 до n.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере =454070, = 63846,следовательно,

.

Полученное значение свидетельствует о том, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Величина называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем случае = 0,859, это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86 % изменения расходов на питание.

Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это коэффициент а₁) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-коэффициент.

Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели парной регрессии рассчитывается по формуле

.

(6.8)

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака x₁ на 1%.

В нашем примере коэффициент регрессии а₁ равен 0,1257, а средние арифметические и равны соответственно 6080,6 и 1313,9. Поэтому коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода

.

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1 % расходы на питание увеличатся на 0,58 %.

Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой

,

(6.9)

где и S_y — среднеквадратические отклонения выборки ве­личин x₁ и у из табл.6.1, соответственно. Для нашего примера .

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель за­висимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (x₁) и размера семей (х₂). Как уже отмечено выше, множественный (многофакторный) корреляционно-регрессионный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет силу этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид

= а0 + a1x1 + а2х2.

(6.10)

Параметры модели а₀,, a₁ и а₂ находят при помощи системы уравнений:

(6.11)

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции , , . Например,

,

(6.12)

где черта над символами означает среднеарифметическую величину, а S_y и S_хi –среднеквадратические отклонения соответствующих выборок y и x_i из табл. 6.1.

Аналогичный вид имеют формулы для и .

После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции

(6.13)

который колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на резуль­тативней признак.

Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных призраков.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком x₁ при неизменном значении факторного признака x₂ рассчитывается по формуле

,

(6.14)

где используются парные коэффициенты корреляции, рас­считываемые по формулам, аналогичным (6.12).

Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результативным признаком у и факторным признаком х₂ при неизменном значении факторного признака x₁.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квад­рат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (6.10) рассчитываются по формулам

; .

(6.15)

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множе­ственной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной модели (6.10) задаются формулами

; .

(6.16)

Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.