Применение балансовых моделей

Основные понятия

В основе создания балансовых моделей (как динамических, так и статических) лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования (соответствия между производством и потреблением вида продукции) [9]. Соответствие можно рассматривать либо как равенство производства и потребления, либо менее жестко: как достаточность ресурсов для покрытия потребности и наличие некоторого резерва, которые могут быть использованы для накопления.

Основные виды балансовых моделей:

- частные материальные, трудовые и финансовые балансы, отнесенные к определенному региону, предприятию, фирме;

- матричные промфинпланы предприятий и фирм (они охватывают всю совокупность производимой продукции с учетом соответствующих видов затрат);

- межотраслевые балансы, которые являются инструментом для анализа и поддержания определенных пропорций в народном хозяйстве в целом.

Балансовые модели на базе отчетных балансов характеризуют сложившиеся пропорции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. Для выявления диспропорций используются балансовые модели, в которых фактические ресурсы сопоставляются не с их фактическим потреблением, а с потребностью в них.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса матрица коэффициентов состоит из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно. Поэтому подготовка данных может вызвать серьезные затруднения. Тогда при построении межотраслевого баланса используется понятие чистой отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта, независимо от ведомственной подчиненности и форм собственности предприятий и фирм.

Так как балансовые модели строятся в виде числовых матриц, то в экономике их называют матричными моделями. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение. В виде матричной структуры можно выразить межотраслевые и межрегиональные модели производства, модели развития отрасли, модели промфинпланов предприятий. Специфику этих моделей объединяет последовательность выполнения расчетов и аналогичность используемых экономических характеристик.

При составлении матрицы межотраслевого баланса разделяют совокупный продукт на промежуточный и конечный. Промежуточный продукт используется в других отраслях в качестве материальных затрат производства. Все отрасли, участвующие в балансе, приводятся к виду условных чистых отраслей и выступают как в качестве производящих, так и в качестве потребляющих.

Схема межотраслевого баланса (МОБ) состоит из четырех частей (табл.5.1), имеющих различное экономическое содержание. Эти части называются квадратами баланса и обозначаются римскими цифрами (I-IV).

Первый квадрат МОБ (I) – таблица межотраслевых материальных связей. Величины x_ij характеризуют величины межотраслевых потоков, они представляют собой стоимость средств производства продукции, произведенной в отрасли i и потребленной в отрасли j в качестве материальных затрат. Эта область представляет собой квадратную матрицу n×n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Таблица 5.1. Матрица межотраслевого баланса, в которой n отраслей

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
О1	О2	…	Оj	Оn
О1	x11	x12	…		x1n	Y1	X1
О2	x21	x22	…		x1n	Y2	X2
…				I		II
Оi				xij
…
Оn	xn1	xn2	…	…	xnn	Yn	Xn
Амортизация	с1	с2			сn
Оплата труда	v1	v2		III	vn	IV
Чистый доход	m1	m2			mn
Валовой продукт	X1	X2			Xn

Второй квадрат (II)– конечная продукция Y всех отраслей материального производства. При этом под конечной продукцией понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного использования (потребление и накопление). В МОБ конечный продукт каждой отрасли Y_i может быть показан дифференцированно по направлениям использования: на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление, возмещение потерь, экспорт и др. Второй квадрат характеризует материальную структуру национального дохода.

Третий квадрат (III) характеризует национальный доход со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Чистая продукция – сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей. Сумма амортизации c_j и чистой продукции (v_j+m_j) некоторой j -й отрасли называется условно чистой продукцией этой отрасли Z _j, т.е. Z_j= c_j+(v_j+m_j).

Четвертый квадрат (IV) – пересечение II и III квадратов – отражает конечное распределение и использование национального дохода. Данные IV квадрата отражают доходы и расходы населения, источники финансирования капиталовложений, текущие затраты непроизводственной сферы (здесь не рассматриваются). Общий итог IV квадрата (как II и III) должен быть равен созданному за год национальному доходу.

Смысл подведения баланса в том, что общее количество созданного национального дохода в виде конечного продукта должно соответствовать объему потребленного продукта. В рассмотренную схему баланса можно включить объем валового продукта Х, который представляет собой сумму величин потребления продукции каждой отрасли и условно чистой продукции:

.

(5.1)

Соотношение (5.1) охватывает систему n уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы. Рассматривая МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно определить величину валового продукта как сумму материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

.

(5.2)

Соотношение (5.2) описывает систему n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования. Если просуммировать по всем отраслям (5.1), получаем

(5.3)

Суммируя уравнения (5.2), получим

(5.4)

Левые части равенств (5.3) и (5.4) равны. Это валовой общественный продукт. Следовательно, правые тоже равны, т.е. получаем

(5.5)

МОБ отражает принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

Область I – технологическая матрица. Вместо величин потребления, выраженных в натуральных единицах, технологическую матрицу можно составить из коэффициентов прямых затрат:

.

(5.6)

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i -й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j -й отрасли. При этом величина коэффициента не зависит от объема производства в отрасли j и является стабильной во времени, т.е. детерминирована. С учетом формулы (5.6) систему уравнений баланса можно представить в виде

.

(5.7)

Обозначив матрицу прямых материальных затрат A={a_ij}, вектор-столбец валовой продукции и вектор-столбец конечной продукции , получим систему уравнений (5.7) в матричной форме:

X=A·X+Y.

(5.8)

Эта система уравнений (5.7) и (5.8) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты – выпуск»). С помощью этой модели можно выполнить три варианта расчетов.

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Х_i), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i): Y=(E-A)X.

2. Обратная задача. Задав в модели величины конечной продукции каждой отрасли (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Х_i):

X=(E-A)^-1Y.

3. Для ряда отраслей заданы величины валовой продукции, а для остальных - величины конечной продукции. Можно найти конечную продукцию для первой отрасли и валовую для остальных. Используем систему линейных уравнений. Матрица (E-A) является невырожденной, если не равен 0 ее определитель. Это необходимое условие для определения обратной матрицы

(E-A)^-1 = .

Обозначим обратную матрицу В = (E-A)^-1. Тогда

Х = BY.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат, которые включают прямые и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно на изготовление данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i -й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат на эту продукцию получить единицу конечной продукции j -й отрасли. Коэффициентами полных материальных затрат можно воспользоваться, если необходимо осуществить прогноз того, как отразится на валовом выпуске продукции некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей: , где – изменения (прирост) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Основные свойства технологической матрицы

1. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, т.е. A 0.

2. Так как в процессе воспроизводства количество затрачиваемого продукта данного вида должно быть меньше его производства, то a_ij <1.

3. Вектор валового продукта Х является неотрицательным, т.е. X 0.

При решении вопроса о том, при каких условиях экономическая модель способна обеспечить положительный выпуск ВП по всем отраслям, вводится понятие продуктивности матрицы прямых затрат. Матрица продуктивная, если X > AX.

Выполнение этого условия для МОБ означает существование положительного вектора конечного продукта Y 0.

Чтобы матрица прямых затрат была неотрицательна, достаточно выполнения одного из условий:

1) матрица (E-A) неотрицательнообратима, т.е. существует обратная матрица (E-A)^-1 0;

2) матричный ряд Е+А+А²+А³+… сходится, а его сумма равна обратной матрице (E-A)^-1;

3) все главные миноры матрицы (E-A), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы должны быть положительными.

Это условие может быть упрощено, если использовать достаточное условие нормы матрицы, т.е. суммарные значения элементов в каждом столбце матрицы А, должна быть меньше 1.

Применение балансовых моделей

Пример 5.1. Для трех отраслей задана матрица коэффициентов прямых материальных затрат А и конечная продукция Y. Найти коэффициенты полных материальных затрат, валовую Х_j и чистую Z_j продукцию.

Таблица 5.2. Исходные данные расчета межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция Yi	Валовая продукция Хi
Отрасль 1	Отрасль 2	Отрасль 3
Отрасль 1	0,3	0,1	0,4
Отрасль 2	0,2	0,5
Отрасль 3	0,3	0,1	0,2
Условная чистая продукция Zj
Валовая продукция Xj

1) Составим матрицу межотраслевого баланса и запишем исходные данные в матричном виде, т.е. получим матрицы А, Y (табл. 5.2).

Запишем исходные данные в матричной форме:

– матрица коэффициентов прямых материальных затрат

;

– конечная продукция Y =(200 100 300)^Т.

2) Найдем (Е-А), где Е – единичная матрица:

.

3) Вычислим определитель матрицы (Е-А):

.

4) Найдем алгебраические дополнения для (Е-А):

.

5) Вычислим коэффициенты полных затрат:

.

6) Определим величины валовой продукции Х=В·Y= .

7) Определим величины межотраслевых потоков .

8) Рассчитаем величину чистой продукции .

Результаты сведены в табл. 5.3.

Таблица 5.3. Результаты расчетов

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция Yi	Валовая продукция Хi
Отрасль 1	Отрасль 2	Отрасль 3
Отрасль 1	232,6	51,0	291,8		775,3
Отрасль 2	155,1	0,5255,0			510,1
Отрасль 3	232,6	0,151,0	145,9		729,6
Условная чистая продукция Zj	155,0	153,1	291,9	∑=600
Валовая продукция Xj	775,3	510,1	729,6		∑=2015,0

Пример 5.2. Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов: первый цех – продукцию 1, второй – продукцию 2. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечной продукцией. Требуется выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление x_ij, общие (валовые) объемы выпускаемой продукции X_j, если заданы параметры прямых затрат А, и конечной продукции Y (табл.5.4).

Таблица 5.4. Исходные данные для расчета продукции предприятия