Ряд Неймана

В литературе его еще называют рядом Пеано или матрициантом. Проинтегрируем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет матрица перехода:

интегральное уравнение Вольтерра:

Найдем решение методом простой итерации:

...

Этот ряд называется рядом Неймана.

Если элементы ограничены на отрезке интегрирования, то ряд сходится абсолютно и равномерно. Матрица перехода F (t,t₀) будет определяться бесконечным рядом

Убедимся, что полученный ряд удовлетворяет исходному уравнению, для чего продифференцируем его:

Следовательно, ряд Неймана действительно дает матрицу перехода.

Ряд Неймана имеет теоретическое значение, для практических вычислений используются другие подходы.