Расчет магнитного поля одиночного проводника с током

Требуется рассчитать магнитное поле внутри и за пределами проводника. Это означает, что необходимо определить распределение напряженности и вектора-потенциала.

Для расчета используем закон полного тока в интегральной форме

Рассчитаем циркуляцию вдоль окружности, центр которой совпадает с центром провода. При этом напряженность в любой точке этой окружности постоянна по модулю и совпадает с направлением элементарного участка dl.

Внутри проводника () .

Следовательно,

Вне проводника () .

Рассчитаем вектор-потенциал внутри проводника (). Так как по проводнику протекает ток, то вектор-потенциал подчиняется уравнению Пуассона .

Вектор-потенциал образует плоско параллельное поле, изменяющееся только по радиусу. Поэтому в цилиндрической системе координат уравнение Пуассона запишется

(17.20)

Проинтегрировав его, получим

(17.21)*

Так как поблизости нет другого поля, то постоянную интегрирования C ₁ можно приравнять к нулю.

В свою очередь

(17.22)

При r = 0 , следовательно, и .

Проинтегрировав уравнение (17.21)*, получим

(17.23)

Если принять, что на поверхности проводника A ₁ = 0, то постоянная интегрирования C ₂ будет равна

Тогда

(17.24)

Так как за пределами проводника тока нет, то вектор-потенциал подчиняется уравнению Лапласа .

Используя то же допущение о плоско параллельном поле, получим

(17.25)

На поверхности провода по закону полного тока

(17.26)

Следовательно,

(17.27)

(17.28)

Из условия непрерывности вектора-потенциала следует, что при A ₂ = A ₁ = 0.

(17.29)

Тогда

(17.30)

Выделим в толще проводника элементарную площадку, нормаль к которой параллельна вектору напряженности.

По теореме Стокса

(17.31)

Этот интеграл распадается на 4 составляющие

На участках 2-3 и 4-1 векторы и перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

Индуктивность, обусловленная магнитным потоком внутри проводника

(17.32)

В свою очередь

(17.33)

Тогда

(17.34)

(17.35)

За пределами проводника ()

(17.36)