Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде

Так же, как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде:

В неизменном во времени поле:

Если среда однородна и изотропна, т.е. g = const, то можно записать:

или

(16.9)

Поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

Это поле является потенциальным, в нем в областях, не занятых источниками .

40. Переход тока из среды с проводимостью g₁ в среду

с проводимостью g₂. Граничные условия

Рис. 16.2. Поле на границе раздела двух сред

На рис.16.2 линия ОО есть граница раздела сред. Возьмем на границе раздела плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41, длину которых обозначим dl. Пренебрежем составляющими интеграла вдоль коротких сторон

,

. (16.10)

Это соотношение совпадает с соотношением (13.23) на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов.

а б

Рис. 16.3. Определение нормальной составляющей поля

Выделим на границе раздела сред сплющенный параллелепипед (рис. 16.3а).

Поток вектора , втекающий в объем через нижнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань – . Так как , то

(16.11)

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью остаются непрерывными тангенциальная составляющая вектора напряженности поля и нормальная составляющая плотности тока .

.