Опционы

Опцион — контракт, который дает своему владельцу право купить (или продать) некий актив по оговоренной цене в течение определенного срока.

Ценой отсечения (исполнения) опциона называется цена, которая должна быть уплачена за какую-либо ценную бумагу или обыкновенную акцию, когда она покупается путем исполнения опциона.

Опцион «колл» дает право купить ценную бумагу по заранее оговоренной цене в течение определенного периода. Опцион «пут» дает право продать ценную бумагу по заранее оговоренной цене в течение определенного периода.

Никто не станет платить за опцион на покупку актива больше, чем разница между тем, что нужно заплатить для покупки актива на рынке, и тем, что нужно заплатить по опциону, т. е. ценой исполнения. Следовательно, верхний предел стоимости опциона на покупку — это цена самого актива (S) минус цена исполнения (X). В случае опциона на продажу актива никто не будет платить за этот опцион больше, чем разница между ценой, по которой актив может быть продан на открытом рынке, и ценой, по которой этот актив будет продан по опциону. Следовательно, верхний предел стоимости опциона на продажу — это цена исполнения минус текущая стоимость актива.

Эти ограничивающие условия формально могут быть выражены следующим образом;

C = max [0, S-X], P = max [0, X-S] (6.20)

Применение биномиальной модели для ценообразования опционов

Биномиальная модель может быть применена, если предположить, что прогнозируемая цена актива (случайная величина) характеризуется биномиальным распределением, а именно;

1. Переменная может принимать только два значения в данный момент или в результате данного события. Каждое из этих событий или моментов времени называется биномиальной попыткой. Два возможных результата называются «успех» — в случае благоприятного результата и «неудача» — в случае неблагоприятного;

2. Для каждой последовательности попыток вероятность успеха и неудачи постоянна;

3. Все попытки идентичны;

4. Все попытки независимы.

Применение биномиальных моделей к ценообразованию опционов подразумевает моделирование цены актива, лежащего в основе опциона как биноминального процесса. Затем с использованием приведенных выше ограничений определяется будущая стоимость опциона и дисконтируется к настоящей, определяя, таким образом, текущую цену на опцион.

Биномиальная модель допускает возможность создания безрискового портфеля посредством хеджирования длинной позиции по активу короткой позицией по ряду справедливо оцененных опционов. Только безрисковая процентная ставка должна быть использована для дисконтирования, поскольку предполагается, что если портфель захеджирован наилучшим образом, он будет безрисковым.

Предположим, что цена актива (S) составляет 100 тыс. руб., цена исполнения опциона (X) равна 95 тыс. руб. Безрисковая процентная ставка (r) 15 %. Срок действия опциона один год. Условимся, что за это время цена актива может снизиться на 10 % или возрасти на 20 %, т. е. составит либо 90 тыс. руб., либо 120 тыс. руб. на основе этой информации можно построить одноуровневое биномиальное дерево цены актива:

где u = 1+0,2 (up), d = 1–0,1 (down).

Аналогично строится дерево стоимости опциона (с):

Для построения полностью захеджированного портфеля покупается одна единица основного актива с одновременной продажей Н опционов. Так как портфель полностью захеджирован, его стоимость будет одинакова независимо от того, поднимется или опуститься цена на актив. Получим:

Su + Hcd = Sd + Hcu,

H = S(u – d) / (cu – cd) = 100 (1,2 – 0,9) / (25 – 0) = 1,2.

Эта величина называется коэффициентом хеджирования.

Смысл коэффициента хеджирования может быть объяснен так; S(u – d) — размах возможных цен на актив, а сu – cd — размах возможных цен на опцион. Тогда, если размах цен актива в 1,2 раза больше размаха цен опционов, возникает необходимость в короткой позиции на 6 опционов, доход по которым полностью возместит потери от 5 длинных позиций по активу. Т. е. вместе c покупкой 5 единиц актива следует продать 6 опционов с ценой исполнения 95 тыс. руб.

Поскольку стратегия является безрисковой, ставка дохода по опциону также должна быть безрисковой. Текущая стоимость портфеля, состоящего из 5 длинных позиций по активу и 6 коротких по опционам, а также имеющего безрисковую ставку в течение одного года, должна быть равна текущей стоимости дохода в конце года. Этот доход на конец года составляет:

5Su – 6cu = 600 – 6 × 28 = 450 тыс. руб.

(так как стоимость создания безрискового портфеля — это стоимость покупки основного актива минус премии, от списанных (проданных) опционов).

Значит, текущая стоимость должна быть равна:

450÷(1 + 0,15) = 391 тыс. руб.

Тогда стоимость одного опциона оценивается:

(5 ´ 100 – 391) ÷ 6 = 18,2 тыс. руб.

Можно рассчитывать стоимость опциона после нескольких периодов времени (нескольких биномиальных испытаний). Для этого применимы формулы:

для опциона на покупку:

, (6.21)

для опциона на продажу:

, (6.22)

где р = (R. – d)(u – d), R = 1+r, n — общее количество биномиальных испытаний, j — количество произошедших движений вверх, n – j — количество произошедших движений вниз.

6.5. Слияние, покупка и дробление компаний