Теоремы ролля, Лагранжа, коши

42) (Теорема Ролля) Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), и f(a)=f(b), тогда существует точка в которой . заданному интервалу принадлежит только 1 точка.

43) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует такая точка , что - формула конечных приращений.

44) Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что .

возрастает.

45) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b). Пусть кроме того, на (a;b). Тогда существует точка , т., что

2)По теореме о конечных приращениях

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА (МАКЛОРЕНА)

46) Пусть ф-ция имеет производных в точке . Многочлен называется n-многочленом Тейлора функции в точке .

аналогично . И так далее.

Составим многочлен Тейлора 3его порядка с центром в точке

47)

48)

ПРОСТРАНСТВО R²

49) Пусть . Расстоянием между X и Y называется число . Расстояние между точками, определённое этой формулой, задаёт отображение и удовлетворяет следующим свойствам:

1. если

2.

3.

Доказательство 1 и 2 очевидно. Докажем 3. Заметим, что пара точек определяет вектор .

Проведём серию равносильных преобразований

50) Множество D называется открытым если все его точки внутренние. D- прямоугольник OABC с исключенными AB и OC. Данное множество не является открытым, т.к. точки отражающие OA BC являются граничными, а не внутренними.

51) Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. D- прямоугольник OABC с исключенными AB и OC. Данное множество не является замкнутым, т.к. граничные точки из отрезка AB и ОС исключены из множества.

52) Т. М₀ называется предельной точкой мн-ва D, если в любой есть точки из множества D.

А)

D

Б) является предельной, но множеству D не принадлежит.