Решение. 32) Если z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;y0), то в этой точке она непрерывна

32) Если z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;y₀), то в этой точке она непрерывна.

Пусть ф-ция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;y₀), тогда справедливо

ф-ция z=f(x) непрерывна в точке (х₀;y₀).

33) Если f(x) дифференцируема в т. x0 то f(x) непрерывна в этой точке. Обратное неверно: например - непрерывна, но не является дифференцируемой.

34) Теорема Если функции u=f(x), v=g(x) дифференцируемы в точке x₀, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии g(x) не равно 0) также дифференцируемы в точке x₀, и выполняются следующие формулы:

Пусть приращения функций u, v, u+v, uv, u/v, вычисляются только в точке x₀, так, что:

И так далее, как видно, приращение суммы d(u+v) равно сумме приращений du+dv. Действительно, d(u+v)= (u+du)+(v+dv)-(u+v)= du+dv. Аналогично с минусом. Поэтому:

35) 1) (Производная обратной функции) Пусть функция y=f(x) является непрерывной и строго монотонной в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке производную . Тогда обратная функции также имеет в соответствующей точке производную, причем:

2)

Вопр. ОПР Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в точке x₀ можно представить в виде

, где А- некоторое число - функция от являющаяся бесконечно малой, при .

Прим.

36) Дифференциалом функции в точке х₀ называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

df(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀) dх

37) см. вопрос 36 +