![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) Число а называется пределом последовательности если
Обозн.
А) , Б) (-1)n
2)
Надо проверить, что для
Для нахождения n0 надо выразить n через E из неравенства
;
При этом
3) Предположим, что некоторая последовательность имеет два различных предела a и b
Выберем столь маленькие окрестности точек a и b, чтобы они не имели общих точек. Поскольку
, все
, начиная с некоторого номера
, содержится в выбранной окрестности точки а, точно также из
следует, что все
, начиная с некоторого номера
, содержаться в некоторой окрестности точки b. Положим
. Тогда числа
с номерами
должны принадлежать как к первой так и ко второй окрестности, что невозможно, т.к. окрестности не имеют общих точек.
4) Мн-во чисел назыв. ограниченным если сущ. такой отрезок числовой оси, который содержит все числа из Х. Док-во Пусть
. Положим
и найдем номер, начиная с которого
для
Отсюда следует для всех
. Заменим отрезок
отрезком
, чтобы в него попали все числа х1,х2….хn0. Тогда будем иметь
для всех
, что означает ограниченность мн-ва
.
5) Числовая последовательность назыв. ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству
. Предел последовательности, ограниченной снизу числом 6 а) не может быть равным 5,98; б) может быть равным 6,02.
6) Предел суммы двух расходящихся последовательностей может сходиться. Пусть {Xn}, {Yn} – две сходящиеся последовательности, причем ,
, тогда
. Пример расходящихся последовательностей, сумма которых сходится: 1/n; (-1)/(n+1)
7) Произведения двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность. Предел которой равен произведению пределов соответствующих последовательностей. Пусть {Xn}, {Yn} – две сходящиеся последовательности, причем
,
,
тогда . Пример расходящихся последовательностей, произведение которых сходится
{xn}: -1, 1,-1,1……
{yn}:-2,2, -2,2….
{xn*yn}: 2, 2, 2, 2….
xn*yn=(-1)n*(-1)n*2=2=const
limn→∞2=2 – сходится
8) - сходится? Если
-сходится
- расходится. Нет, не сходится т.к. сходящаяся последовательность {Xn}≤А, А=const. А сумма const и расходящейся последовательности расходится.
9) Последовательность называется бесконечно малой, если
. а) {
} и {
} – бесконечно малые последовательности
limn→∞ =0
б) { } и {
} – бесконечно малые последовательности
limn→∞ =+∞
10) Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность есть бесконечно малая. Док-во. Пусть
- ограниченная, а
- бесконечно малая послед. В силу ограниченности последовательности
существует такое число А, что любой элемент ее удовлетворяет неравенству
. Поскольку последовательность
бесконечно малая, для положительного числа
существует такой номер
, что при всех n>N
Т.о.
- бесконечно малая.
11)
Допустим, что
, т.е.
Допустим, что
, т.е.
, т.е.
12) Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует такой номер N, что при n>N (для всех элементов последовательн.) выполняется неравенств. .
При Действительно для любого положительного А существует такой номер N при
что
зн. последовательность является бесконечно большой. Доказательство:
Возьмем любое число A>0. Из неравенства 〡xn〡=〡 〡>A. Если теперь взять N≥A, то для всех n>N будет выполняться неравенство 〡xn〡>A. Так как число A может быть сколь угодно большим, то согласна определению последовательность {
} будет бесконечно большой.
13) Не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например неограниченная последовательность 1,2,1,3,1,4..,1,n.. не является бесконечно большой так как при А>1неравенство не выполняется для всех элементов
с нечетными номерами.
14) Две бесконечно большие последовательности суммы которых являются бесконечно малой последовательностью. Сумма убывающей и ограниченной последовательности (1, 1/3, 1/5,…, 1/(2n-1)…) и возрастающей неограниченной последовательности (1,2,3,4,…n) является бесконечно малой последовательностью. Или пример:
15) Последовательность называется убывающей, если
Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Геометрически это означает, что если последовательность возрастает, и при этом ограничена сверху, то это означает, что с ростом n точки хn на числовой оси смещаются вправо, но при этом не переходят через некоторый рубеж А. Геометрически ясно, что в этом случае числа xn должны накапливаться к некоторому числу а, которое и будет пределом последовательности
. Следовательно, в случае б) предела у данной последовательности просто не существует.
В случае а) предел данной последовательности больше или равен граничному члену данной последовательности.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 2336 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!