Предел последовательности

1) Число а называется пределом последовательности если

Обозн.

А) , Б) (-1)ⁿ

2)

Надо проверить, что для

Для нахождения n0 надо выразить n через E из неравенства

;

При этом

3) Предположим, что некоторая последовательность имеет два различных предела a и b Выберем столь маленькие окрестности точек a и b, чтобы они не имели общих точек. Поскольку , все , начиная с некоторого номера , содержится в выбранной окрестности точки а, точно также из следует, что все , начиная с некоторого номера , содержаться в некоторой окрестности точки b. Положим . Тогда числа с номерами должны принадлежать как к первой так и ко второй окрестности, что невозможно, т.к. окрестности не имеют общих точек.

4) Мн-во чисел назыв. ограниченным если сущ. такой отрезок числовой оси, который содержит все числа из Х. Док-во Пусть . Положим и найдем номер, начиная с которого для

Отсюда следует для всех . Заменим отрезок отрезком , чтобы в него попали все числа х1,х2….хn0. Тогда будем иметь для всех , что означает ограниченность мн-ва .

5) Числовая последовательность назыв. ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству . Предел последовательности, ограниченной снизу числом 6 а) не может быть равным 5,98; б) может быть равным 6,02.

6) Предел суммы двух расходящихся последовательностей может сходиться. Пусть {Xn}, {Yn} – две сходящиеся последовательности, причем , , тогда . Пример расходящихся последовательностей, сумма которых сходится: 1/n; (-1)/(n+1)

7) Произведения двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность. Предел которой равен произведению пределов соответствующих последовательностей. Пусть {Xn}, {Yn} – две сходящиеся последовательности, причем , ,

тогда . Пример расходящихся последовательностей, произведение которых сходится

{x_n}: -1, 1,-1,1……

{y_n}:-2,2, -2,2….

{x_n*y_n}: 2, 2, 2, 2….

x_n*y_n=(-1)ⁿ*(-1)ⁿ*2=2=const

lim_n→∞2=2 – сходится

8) - сходится? Если -сходится - расходится. Нет, не сходится т.к. сходящаяся последовательность {Xn}≤А, А=const. А сумма const и расходящейся последовательности расходится.

9) Последовательность называется бесконечно малой, если . а) { } и { } – бесконечно малые последовательности

lim_{n→∞ =0}

б) { } и { } – бесконечно малые последовательности

lim_n→∞ =+∞

10) Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность есть бесконечно малая. Док-во. Пусть - ограниченная, а - бесконечно малая послед. В силу ограниченности последовательности существует такое число А, что любой элемент ее удовлетворяет неравенству . Поскольку последовательность бесконечно малая, для положительного числа существует такой номер , что при всех n>N Т.о. - бесконечно малая.

11)

Допустим, что , т.е.

Допустим, что , т.е. , т.е.

12) Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует такой номер N, что при n>N (для всех элементов последовательн.) выполняется неравенств. .

При Действительно для любого положительного А существует такой номер N при что зн. последовательность является бесконечно большой. Доказательство:

Возьмем любое число A>0. Из неравенства 〡x_n〡=〡 〡>A. Если теперь взять N≥A, то для всех n>N будет выполняться неравенство 〡x_n〡>A. Так как число A может быть сколь угодно большим, то согласна определению последовательность { } будет бесконечно большой.

13) Не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например неограниченная последовательность 1,2,1,3,1,4..,1,n.. не является бесконечно большой так как при А>1неравенство не выполняется для всех элементов с нечетными номерами.

14) Две бесконечно большие последовательности суммы которых являются бесконечно малой последовательностью. Сумма убывающей и ограниченной последовательности (1, 1/3, 1/5,…, 1/(2n-1)…) и возрастающей неограниченной последовательности (1,2,3,4,…n) является бесконечно малой последовательностью. Или пример:

15) Последовательность называется убывающей, если

Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Геометрически это означает, что если последовательность возрастает, и при этом ограничена сверху, то это означает, что с ростом n точки х_n на числовой оси смещаются вправо, но при этом не переходят через некоторый рубеж А. Геометрически ясно, что в этом случае числа x_n должны накапливаться к некоторому числу а, которое и будет пределом последовательности . Следовательно, в случае б) предела у данной последовательности просто не существует.

В случае а) предел данной последовательности больше или равен граничному члену данной последовательности.