Декартово произведение множеств. Упорядоченная пара, упорядоченная n-ка, вектор, кортеж. Отношения. Функции. Сюръекция. Инъекция. Биекция

Прямое или декартовое произведение двух множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств.

В математике корте́ж или n-ка (упорядоченная n-ка) — упорядоченный конечный набор длины n (где n — любое натуральное число либо 0), каждый из элементов которого xi принадлежит некоторому множеству Xi,

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов

Бинарное отношение f называется функцией, если <x,y> f и <x,z> f y=z.

Замечание:

1) Если Df=X,а Rf Y, то говорят что функция f задана на множестве Х со значениями во множестве Y и осуществляет отображение X в Y.

f:X Y

2)Если f функция, то вместо <x,y> f пишут y=f(x), где y-образ элемента x, при отображении f, а x-прообраз элемента y.

Lx={<x,x>| x X} Lx: x X Lx(x)=x

Пусть задана f: x y:

-Функция (отображение f) называется инъективной, если х1,х2, y из того, что y=f(x1), y=f(x2) x1=x2

-Функция называется суръективной, если для всякого y существует такое х, что y=f(x)

-Функция называется биективной, если f одновременно: инъективна и суръективна.

Замечание: Если существуeт функция f: x y, то говорят, что f – осуществляет взаимное однозначное соответствие, между множествами X и Y, а f: x X называется подстановкой.

Можно доказать следующие утверждения:

- композиция 2-х функций, есть функция.

- композиция 2-х биективных функций, есть биективная функция.

- отображение f: x y имеет обратное отображение f : y x тогда и только тогда, когда f – биекция.