Универсальное и пустое множества. Парадоксы наивной теории множеств; множество всех множеств, множество Рассела. Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно. Обозначется U.

Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

Любое множество является подмножеством универсального множества.

В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

Дополнение универсального множества есть пустое множество.

Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

Пустое - множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Ни одно множество не является элементом пустого множества.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству].

Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству.

Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству].

Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству.

Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству].

Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству.

Пустое множество — транзитивно..

Пустое множество — ординал..

Мощность пустого множества равна нулю.

Мера пустого множества равна нулю.

Парадоксами теории множеств:

рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств, такие как

парадокс Рассела, Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?

парадокс Кантора, парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

парадокс Бурали-Форти; демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Аксиомы:

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда первое множество идентично второму [множеству].»

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из.0+{0}+{0,{0}}….»

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств a1 и а2 можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество с, каждый элемент b, которого идентичен данному множеству a1 или данному множеству a2».

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество d, каждый элемент c которого является [собственным либо несобственным] b подмножеством данного множества a.»

Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество, каждый элемент которого принадлежит по меньшей мере одному множеству данного семейства».

Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество, высказав суждение о каждом элементе данного множества.»

Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение обо всех элементах данного множества.»

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество, каждый элемент которого не принадлежит данному семейству.»

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество, в котором есть по одному элементу от каждого множества данного семейства.»