Отношение эквивалентности и сопряженное с ним разбиение множества. Фактор-множество. Основные свойства отношения эквивалентности

Отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное одновременное на множестве Х называется отношением эквивалентности.

Классом эквивалентности порождённым элементом «х» называется подмножество множества Х, которое состоит из тех «у є х», которое состоит из «у є х» для которых «х ро у».

Теорема: Множество классов эквивалентности по отношению эквивалентности на множестве х – есть разбиение.

Обратная: Если задано разбиение , то эти подмножества будут являться классами эквивалентности по некоторому отношению на множестве х.

Пусть X - множество и R - отношение эквивалентности на нем. Из свойства транзитивности отношения эквивалентности следует, что любой класс эквивалентности является множеством всех элементов, эквивалентных произвольному элементу из этого класса. Таким образом, из теоремы следует, что отношение эквивалентности позволяет данное множество X представить в виде объединения взаимно непересекающихся классов эквивалентности.

Совокупность всех классов эквивалентности называется фактор-множеством. Оно обозначается символом X/R.

Эта система классов обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение, т. е. классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны.