Бесконечные множества. Счетные и несчетные множества. Кардинальные числа

Кардина́льным число́м или, коротко, кардина́лом в теории множеств называется обобщение понятия натурального числа[1] (как величины, характеризующей количество элементов конечного множества), служащее для измерения мощности произвольных множеств, включая бесконечные. Кардинальное число какого-либо множества A обозначается |A| или Card A.

Для конечного множества A кардинальное число |A| есть натуральное число, равное количеству элементов этого множества. Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать. Пусть A и B — бесконечные множества, тогда логически возможны следующие четыре случая:

Существует взаимно-однозначное соответствие между A и B, т.е. A ~ B и |A|=|B|.

Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством A и некоторым собственным подмножеством B' множества B. Тогда говорят, что мощность множества A не больше мощности множества B и записывают |A|≤|B|.

Множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, и наоборот, множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то есть A~B' ⊆ B и B~A' ⊆ A. По теореме Кантора-Бернштейна в этом случае выполняется A ~ B, то есть |A|=|B|.

Мощность: Два множества А и В называются эквивалентными или имеющими одинаковую мощность, если между их элементами можно установить взаимооднозначное соответствие.

А~В

Счётные множества: Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N.

1)Из всякого бесконечного множества можно выделить счётное подмножество.

2)Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

3)Объединение конечного числа счётных множеств счётно.

4)Объединение счётного числа счётных множеств счётно.

Несчетные множества: Множество называется несчётным, если оно бесконечно или несчётно.

Теорема Кантера: между множеством натуральных чисел N и отрезком [0,1] нельзя установить взаимооднозначного соответствия.

Замечание: Среди бесконечных множеств огромное значение имеют контенциальные, т.е. множества равномощные.