Модель Вольтерра

Модель хищник-жертва. Пусть на замкнутой территории обитают жертвы и хищники. Если не было бы жертв, то хищники вымерли бы , , где - коэффициент убыли хищников, - численность в данный момент, - численность в начальный момент времени.

· Скорость изменения численности жертв: , где - коэффициент убыли жертв при встрече с хищниками.

· Скорость изменения численности хищников: , где - коэффициент, зависящий от того, как часто встреча хищника с жертвой заканчивается трапезой. (2.12)

Найдем стационарное (т.е. не зависящее от времени) состояние системы. Если численность постоянна, то их производные по времени равны нулю: , . Откуда , , , . Производные обращаются в ноль на прямых , , следовательно, численность популяций имеют здесь экстремумы.

Точка (0,0) – седло. Рассмотрим точку . Разложим систему уравнений (2.12) вблизи этой точки, ограничившись случаем малых отклонений от положения равновесия и : пренебрегаем .

Характеристическое уравнение: , корни: , - чисто мнимые особая точка – центр, фазовые траектории – эллипсы. Рисунок 18.

Рисунок 20. Зависимость числа хищников от числа жертв при различных НУ

Рисунок 21. Зависимость числа хищников (сплошная линия) и жертв (пунктир) от времени

Модель является неустойчивой.